Студопедия

Главная страница Случайная лекция

Порталы:

БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика






Правило нахождения точек перегиба и промежутков выпуклости вверх и вниз

Читайте также:
  1. Ведомость вычисления координат точек теодолитного хода
  2. Вихревое электрическое поле. Правило Ленца. Самоиндукция. Индуктивность
  3. Вопрос 6. Правило сложения дисперсий
  4. Вынос точек с проектными отметками
  5. Диаграмма состояния сплавов, имеющих неограниченную растворимость в жидком, твёрдом состоянии. Правило отрезков.
  6. Золотое правило нравственности - основной закон морали. Категорический императив И. Канта и отражение в нем основных функций культуры.
  7. Как правило, Государственная Дума рассматривает внесение законопроекта в трех чтениях.
  8. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ТЕЛА (СИСТЕМЫ ТОЧЕК).
  9. Конструктивно процесс может осуществляться с вытяжкой рукава вверх, вниз и в горизонтальном направлении.
  10. Контроль местонахождения зонда

1) Найти область определения функции f(x).

2) Найти f ²(x) и решить уравнение f ²(x) = 0 и найти точки x из области определения, в которых f ²(x) не существует.

3) Разбить область определения найденными в предыдущем пункте точками на промежутки и в них найти знаки второй производной.

4) Согласно теореме 4 в промежутках, где вторая производная положительна, функция выпукла вниз, а в промежутках, где вторая производная отрицательна, функция выпукла вверх.

5) В соответствии с необходимым условием абсциссы точек перегиба нужно искать среди значений, найденных в пункте 2. Пусть x0 - такое значение. Если производная в точке x0 (конечная или бесконечная) существует и в интервалах непосредственно слева и справа от x0 вторая производная имеет разные знаки, то x0 - абсцисса точки перегиба.

Пример.14) Исследовать функцию на выпуклость, вогнутость, найти точки перегиба.

Решение. 1) Функция определена при всех действительных значениях x, таких, что x­­2-4 ¹­­ 0, т.е. x ¹ ±2.

2) Найдем вторую производную.

  Рисунок 5  

y²=0 при x = 0. y² не существует при x = ±2, но они не входят в область определения функции, поэтому они не могут быть абсциссами точек перегиба.

 

3) Разобьем область определения точкой x = 0 на интервалы (– ∞, -2), (-2, 0), (0, 2), (2, +∞), в каждом из которых вторая производная сохраняет знак.

Определим знак второй производной в каждом из этих интервалов. В точке x=-3 из интервала (– ∞, -2) y²< 0, следовательно, y²< 0 во всем интервале (– ∞, -2). Аналогично определяем, что y² > 0 в интервалах (-2, 0) и (2, +∞), y² < 0 в интервале (0, 2) (рис. 5а).

4) Функция выпукла вверх в интервалах (– ∞, -2), (0, 2), выпукла вниз в интервалах (-2, 0), (2, +∞).

5) В интервалах (-2, 0), (0, 2) y² имеет разные знаки. Значит, (0, 0) является точкой перегиба функции.

На рисунке 5б приведен схематически график функции.

13. Асимптоты графика функции.Пусть M(x, y) - точка графика функции y=f(x). Будем говорить, что точка M бесконечно удаляется в бесконечность по графику, если она движется по графику так, что либо x → ± ∞,либо y→ ± ∞. При этом считаем, что функция определена в соответствующих множествах.

Определение 6.Прямая называется асимптотой графика функции y = f(x), если при удалении точки M в бесконечность по графику, расстояние от M до этой прямой стремится к нулю (рис. 6а).

Вертикальная (горизонтальная) асимптота - это асимптота, параллельная оси Оу (соответственно Ох). Остальные асимптоты называются наклонными.

На рис. 6б и 6в прямые х = 2, х = 0 и х = -1 являются вертикальными асимптотами, прямая у = 1 - горизонтальной, прямая у = х+2 - наклонной.

Нахождение вертикальных асимптот.Если x0- точка бесконечного разрыва функции y = f(x), то прямая x = x0 является вертикальной асимптотой. Например, если

то точка графика при y → -∞ бесконечно близко приближается к вертикальной асимптоте x = x0 с левой стороны (рис. 6в, x0= -1).

Рисунок 6  

Вертикальная асимптота может быть в точке, являющейся границей области определения функции, если односторонний предел в этой точке равен +∞ или -∞ (рис. 6в).



Нахождение горизонтальных асимптот.Если

при x →+ ∞ (или -∞),

то прямая y = y0 является горизонтальной асимптотой при x →+ ∞ (или -∞).

Нахождение наклонных асимптот.Уравнение наклонной асимптоты имеет вид

y= kx+b , где угловой коэффициент k ≠ 0. Коэффициенты k и b при x →+∞ (-∞) находят по формулам:

. (7)

Замечание 11. В формулах (7) подразумевается, что оба предела существуют и конечны. Если хотя бы один из них не существует, то наклонной асимптоты нет.

Замечание 12.Если пределы (7) конечны и k = 0, то график имеет горизонтальную асимптоту y= b при x →+ ∞ (или -∞). Поэтому если существует горизонтальная асимптота при x →+ ∞ (или -∞), то нет наклонной асимптоты при x →+ ∞ (или -∞).

Примеры. 15) Найти асимптоты графика функции .

Решение. Точка x = 2 является точкой разрыва функции. Найдем односторонние пределы функции в этой точке

Следовательно, прямая x = 2 является вертикальной асимптотой при у→ + ∞ и у→ -∞.


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Правило нахождения точек экстремума и промежутков монотонности | Так как то горизонтальных асимптот нет

Дата добавления: 2014-02-28; просмотров: 287; Нарушение авторских прав


lektsiopedia.org - Лекциопедия - 2013 год. | Страница сгенерирована за: 0.002 сек.