Деформаций и напряжений

Математическая Аналогия теорий

Исследуя удлинение произвольно выбранного волокна, направление r которого образует углы α, β, γс осями системы координат Oxyz, можно получить следующее выражение для удлинения ε_r по направлению r:

, (5.7)

где величины

называются направляющими косинусами исследуемого волокна. Из выражения (2.7) следует, что удлинение dr произвольного волокна, проходящего через заданную точку, можно выразить через шесть компонентов тезора деформации в той же точке.

Сравнивая между собой выражения (3.10) и (5.7), обнаружим, что они математически подобны.

Можно строго доказать, что между теорией напряжений и теорией деформаций имеется полная математическая аналогия. Следовательно, необходимые формулы в теории деформаций можно выражать аналогично соответствующим формулам в теории напряжений. Тогда в каждой точке упругого элемента существует три взаимно перпендикулярные направления волокон, между которыми углы при их деформировании остаются прямыми. Относительные удлинения ε₁, ε_2, ε₃ таких волокон называются главными удлинениями, их направления 1, 2 и 3 – главными осями деформации в точке, а плоскости, перпендикулярные к главным осям, – главными плоскостями деформированного состояния в той же точке упругого тела.

При совпадении осей x, y, z с направлением главных осей 1, 2, 3 в формуле (5.7) угловые деформации надо принять равными нулю и заменить буквенные индексы цифровыми. В результате получим:

(5.8)

Следовательно, для осей, совпадающих с главными осями деформации, тензор деформаций (5.5) примет вид, аналогичный тезору (3.15):

(5.9)

При этом значения главных удлинений располагаютак же , как напряжения: ε₁>ε₂>ε₃.

В упругом изотропном теле направления главных деформаций ε₁, ε_2, ε₃ совпадают с направлениями главных напряжений σ₁, σ_2, σ₃, так как нет причин для того, чтобы симметричная система главных напряжений вызывала несимметричную картину деформаций.

Продолжая аналогию, выразим удлинения в направлении, нормальном к октаэдрическим площадкам, подобно выражению (3.18):

, (5.10)

Для угловых деформаций в октаэдрических площадках по аналогии с (3.19) имеем формулу

(5.11)

Для наибольшего сдвига по аналогии с (3.16) получим выражение

. (5.12)

Дата добавления: 2014-03-03; просмотров: 548; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!