Студопедия

Главная страница Случайная лекция


Мы поможем в написании ваших работ!

Порталы:

БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика



Мы поможем в написании ваших работ!




Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Читайте также:
  1. Алгоритм расчета коэффициента теплоотдачипо критериальным уравнениям
  2. Влияние температуры на химическое равновесие. Уравнения изобары и изохоры химической реакции
  3. Возможные проблемы при вскармливании детей первого года жизни
  4. Вопрос 9.3. Анализ влияния факторов первого уровня на прибыль от реализации продукции.
  5. Выбор порядка тригонометрического полинома
  6. Государственная программа «Обеспечение общественного порядка и противодействие преступности»
  7. Дифференциальные зубчатые механизмы
  8. Дифференциальные уравнения
  9. Дифференциальные уравнения конвективного теплообмена
  10. Дифференциальные уравнения первого порядка

Определение 2. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение

, (3.1)

где ,- заданные функции времени .

Если при всех , то уравнение называется однородным, в противном случае оно называется неоднородным. Если коэффициент постоянный, то (3.1) называют уравнением с постоянными коэффициентами.

Прежде чем решать уравнение (3.1) отметим свойство линейных однородных уравнений. Пусть и - решения уравнения . Тогда также является решением при любых значениях постоянных и . Действительно, подставив в (3.1) получим:

Рассмотрим однородное уравнение

. (3.2)

Чтобы решить это уравнение, запишем его в виде:

или .

Учитывая, что , имеем: .

Интегрируя обе части последнего выражения, получим:

, , ,

. (3.3)

Формула (3.3) дает решение уравнения (3.2) с начальным условием .

Пример 4. Популяция бактерий увеличивается таким образом, что удельная скорость роста в момент (время выражается в часах) составляет величину . Пусть начальная популяция . Какой будет популяция после 12 ч. роста?

Решение: По условию удельная скорость равна . Это однородное линейное уравнение первого порядка при . Интегрируя его, получаем:

.

, .

Размер популяции после 12ч. роста выражается величиной

.

Пример 5. Модель сезонного роста.

Дифференциальное уравнение первого порядка , где - положительная постоянная, можно рассматривать как простейшую модель сезонного роста. Скорость роста популяции становится то положительной, то отрицательной, и популяция то возрастает, то убывает. Это может вызываться такими сезонными факторами, как доступность пищи.

Заметим, что здесь .

Так как , то общее решение записывается в виде: .

Полагая , получим , т.е. размер популяции в момент есть . Максимальный размер популяции, равный , достигается при ,,,…, когда . Минимальный размер, равный , достигается при ,,,…, когда . В этой модели размер популяции колеблется от до с периодом . Моменты времени ,,,… можно считать серединами сезонов наибольшей доступности пищи (летних сезонов),а моменты ,,,… соответствует серединам сезонов наибольшей нехватки пищи (зимних сезонов). Продолжительность одного года соответствует ед. времени.


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Лекция 3. Дифференциальные уравнения | Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Дата добавления: 2014-03-11; просмотров: 689; Нарушение авторских прав




Мы поможем в написании ваших работ!
lektsiopedia.org - Лекциопедия - 2013 год. | Страница сгенерирована за: 0.003 сек.