Студопедия

Главная страница Случайная лекция


Мы поможем в написании ваших работ!

Порталы:

БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика



Мы поможем в написании ваших работ!




Определение сейсмических нагрузок для систем со многими степенями свободы

Читайте также:
  1. I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ БИОТЕХНОЛОГИИ КАК НАУКИ И ЕЕ ПРЕДМЕТА ИЗУЧЕНИЯ.
  2. II. ОСНОВЫ СИСТЕМАТИКИ И ДИАГНОСТИКИ МИНЕРАЛОВ
  3. IV. 1. Организация (структура) экосистем
  4. IV. Проблема причинности, соотношения свободы и необходимости.
  5. PR в системе интегрированных маркетинговых коммуникаций.
  6. PR как система
  7. А) Система источников таможенного права.
  8. Аберрации оптических систем.
  9. Аварийные режимы системы расхолаживания бассейна выдержки
  10. Автоматизированная система управления гибкой производственной системой (АСУ ГПС)

Подставляя (10-а) в (10) получаем

(10-б)

или с учетом (9)

 

Сопоставляя полученный результат с предпоследней лекцией

Теперь

Введем коэффициент : . (11)

 

Установим его физический смысл, просуммировав эти коэффициенты по всем формам:

.

Таким образом, - нормированный коэффициент формы колебаний – это коэффициент, определяющий вклад смещения к-й массы, происходящий по i-й форме, в суммарное смещение.

Перепишем (11) в другой форме: (12)

Эта формула отличается от формулы линейного осциллятора коэффициентом ηik < 1. Тогда, повторяя все выкладки лекции о линейном осцилляторе, получим формулу СНиП: Сейсмическая нагрузка приложенная в точке k, соответствующая i-му тону колебаний, определяется формулами

, (13)

где коэффициент динамичности, соответствующий i-му тону колебаний.

 

Определение внутренних усилий

Казалось бы, далее все просто, зная , можно построить эпюры внутренних усилий Ni (M,Q,N) однако максимальные значения сейсмических сил по формулам (13) достигаются в различные моменты времени. Задача эта непростая. В нормах принято среднеквадратичное значение усилий

, (14)

где n – число учитываемых форм колебаний.

Нормы требуют учета и только 1 форму, если . Для ответственных зданий необходимо учитывать

Алгоритм расчета

Представленный алгоритм описывает последовательность расчета по нормам СНиП при ручном расчете, а также при расчете на ЭВМ практически по любой программе.

· Определяются частоты и формы колебаний для выбранных n форм.

· Вычисляются параметры

· Для каждой i-й частоты определяются сейсмические силы , приложенные к k-й массе и эти силы считаются как внешние силы для i-го варианта загружения.

· Производится статический расчет для n вариантов загружений от найденных сил .

· Определяются расчетные усилия .

Результаты расчетов

· Выводятся сейсмические силы и формы колебаний для каждой частоты собственных колебаний.

· Выводятся на экран расчетные усилия M, Q, N по первому варианту загружения, причем, поскольку все расчетные усилия только положительны, не следует ожидать равновесия усилий в узлах.

Расчет на воздействие акселерограмм

Основан на использовании записей ускорений основания (акселерограмм) при землетрясениях, наиболее опасных для рассматриваемых сооружений, а также синтезированных акселерограмм, полученных путем обработки записей сильных землетрясений.

СНиП предусматривает обязательный расчет по нормам для всех зданий и сооружений, но вместе с тем для ответственных и высоких, выше 16 этажей зданий и сооружений, предписывается расчет на воздействие акселерограмм.

1) Первый подход – непосредственное вычисление сейсмических сил.

Теоретически, по формуле (12) ,

Где Вычисление интеграла Дюамеля можно произвести с помощью различных алгоритмов, простейший из них описан в книге Александрова и др. на стр. 53. Там функция внешнего воздействия представляется в виде кусочно-линейной, на каждом шаге интегрирования определяются перемещения и скорости, которые служат начальными для следующего шага.

2) Второй подход – численное интегрирование уравнений движения (7-а). Разработано множество методов, среди которых можно назвать методы Ньюмарка, Вилсона, Хаболта и другие. Здесь мы подробно рассмотрим метод Рунге-Кутта, который реализован в программе RADIUS, далее применяемой при решении конкретных задач сейсмического расчета.

Уравнения движения

представим в виде

Это система дифференциальных уравнений первого порядка в нормальной форме. Рассмотрим процедуру метода Рунге-Кутта вначале на простейшем случае – уравнении первого порядка , тогда, в соответствии с рисунком

(15)

Это метод Эйлера, или метод Рунге-Кутта первого порядка, т.к. он соответствует разложению кривой q(t) в ряд Тэйлора по степеням ∆t и удержания первого линейного члена ряда. Погрешность имеет порядок ∆t2 , что записывается как О(∆t2). По формуле (15) находим следующую точку, вычисляя один раз функцию . Недостаток – с увеличением числа шагов быстро накапливается погрешность e1.

Мы в программе используем метод Рунге-Кутта четвертого порядка, в котором переход от tk к tk+1 выполняется по формулам

(16)

Где .

При этом требуется четыре раза вычислять функцию F.

Геометрически формула (16) выражает переход от точки k к точке k+1 с помощью секущей, проведенной с крутизной f (тангенс угла наклона), которая получена как среднее из f1 – f4, вычисленных в 4-х точках 1 – 4. Погрешность формул (16) О(∆т5), т.е. значительно меньше, чем у формулы (15).

Если вместо одного уравнения система уравнений первого порядка, то - векторы.

Таким образом, в каждый момент времени получаем qi(t), а затем по формуле (10-б) вычисляем сейсмическую силу, соответствующую k-й массе при колебаниях по i-й форме.

Существуют и другие методы (так называемые методы линейного ускорения) – методы Ньюмарка, Вилсона и т.д. – см. рекомендованные книги Александрова, Bathe, Wilson.

Итак, подводим итог: дана система уравнений

Где , матрицы масс, демпфирования, жесткости,

Z – вектор перемещений. Считаем, что вектор задан в глобальной системе координат. Тогда осевые компоненты

(17)

Здесь i, j , k – орты координатных осей.

С помощью метода модальной суперпозиции получаем разделение уравнений

На каждом шаге по времени для каждой формы колебаний находим сейсмические силы для каждой массы по формуле (10-б), после нахождения методом Рунге-Кутта.

 

Выбор шага по времени

Метод Рунге-Кутта условно устойчивый, т.е. его точность зависит от величины шага по времени. Рекомендуется , где - минимальный период учитываемых форм.

Алгоритм решения

· Формируется матрицы .

· Вычисляются частоты и формы свободных колебаний.

· Определяются обобщенные массы Mi и обобщенные нагрузки Qi(t).

· Решаются уравнения (15) и для всех выбранных форм колебаний находятся обобщенные координаты qi для каждого временного шага.

· Для каждого временного шага вычисляется вектор .

· Для каждого временного шага определяются внутренние усилия , где - вектор перемещений m-го элемента.

· На каждом временном шаге определяются нормы динамических перемещений - сумма модулей компонент перемещений.

· На момент времени tk, когда , выводятся результаты расчета - перемещения и усилия.

· Строится выборка максимальных значений усилий по всем временным шагам для каждого сечения, строятся эпюры усилий. Равновесия в узлах ожидать не следует, т.к. в разных сечениях максимальное усилие появляется в разные моменты времени.

 


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Определение сейсмических нагрузок для систем со многими степенями свободы. Определение сейсмических нагрузок для систем со многими степенями свободы | Нормативный расчет трехэтажного здания

Дата добавления: 2014-08-09; просмотров: 526; Нарушение авторских прав




Мы поможем в написании ваших работ!
lektsiopedia.org - Лекциопедия - 2013 год. | Страница сгенерирована за: 0.003 сек.