![]() Главная страница Случайная лекция ![]() Мы поможем в написании ваших работ! Порталы: БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика ![]() Мы поможем в написании ваших работ! |
Дифференциал функции
1. Понятие дифференциала. 2. Применение дифференциала к приближенным вычислениям. 3. Дифференциалы высших порядков. -1- Пусть функция y=f(x) имеет в точке х отличную от нуля производную Таким образом, приращение функции
Поэтому первое слагаемое Определение. Дифференциалом функции y=f(x) в точке х называется главная линейная относительно ∆х часть приращения функции, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dy (или df(x)):
Дифференциал dy называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т.е. дифференциал функции у = х. Так как у´=х´=1, то согласно формуле (1), имеем dy=dx=∆x, т.е. дифференциал независимой переменной равен приращению переменной: dx=∆x. Поэтому формулу (1) можно записать так:
Иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной. Из формулы (2) следует равенство Пример 1. Найти дифференциал функции Решение: По формуле
Геометрический смысл дифференциала функции.
Но, согласно геометрическому смыслу производной, - 2 - Как уже известно, приращение Δу функции y=f(x) в точке х можно представить в виде
причем это равенство тем точнее, чем меньше Δx. Это равенство позволяет с большей точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции. Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому формула (2) широко применяется в вычислительной практике. Подставляя в равенство
Формула (3) используется для вычислений приближенных значений функций. Пример 4. Вычислить приближенно arctg 1,05. Решение: Рассмотрим функцию f(x)=arctg x. По формуле (3) имеем: т.е. Так как x+Δx=1.05, то при х=1 и Δх =0.05 получаем: -3- Пусть y=f(x) дифференцируемая функция, а ее аргумент х – независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал Дифференциал от дифференциала функции y=f(x) называется ее вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) и обозначается Итак, по определению d2y=d(dy). Найдем выражение второго дифференциала функции y=f(x). Так как dx=Δx не зависит от х, то при дифференцировании считаем dx постоянным и можно выносить за знак дифференциала. т.е. Аналогично определяется и находится дифференциал третьего порядка: И, вообще, дифференциал n-го порядка есть дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка: Отсюда находим, что т.е. производную функции можно рассматривать как отношение ее дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной. Пример 5. Найти d2y, если y=e3x и х – независимая переменная. Решение: Так как
Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 328; Нарушение авторских прав ![]() Мы поможем в написании ваших работ! |