Студопедия

Главная страница Случайная лекция


Мы поможем в написании ваших работ!

Порталы:

БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика



Мы поможем в написании ваших работ!




Линейные разностные уравнения первого порядка

Читайте также:
  1. Алгоритм расчета коэффициента теплоотдачипо критериальным уравнениям
  2. Влияние температуры на химическое равновесие. Уравнения изобары и изохоры химической реакции
  3. Возможные проблемы при вскармливании детей первого года жизни
  4. Вопрос 9.3. Анализ влияния факторов первого уровня на прибыль от реализации продукции.
  5. Выбор порядка тригонометрического полинома
  6. Государственная программа «Обеспечение общественного порядка и противодействие преступности»
  7. Дифференциальные уравнения
  8. Дифференциальные уравнения конвективного теплообмена
  9. Дифференциальные уравнения первого порядка
  10. Для произвольной плоской системы сил можно составить три уравнения равновесия.

Пусть – размер популяции в конце n – го периода времени. Предположим, что скорость роста популяции в любой период времени пропорциональна размеру популяции в начале этого периода. Если постоянную пропорциональности обозначить через а, то, учитывая, что прирост популяции выражается величиной , получим: . Сгруппировав члены, приходим к разностному уравнению первого порядка

. (1.1)

Пусть известен начальный размер популяции . Тогда из уравнения (1.1) последовательно находим:

Таким образом, общее решение или общая формула для имеет вид:

. (1.2)

Если постоянная пропорциональности , то выполняется условие и, следовательно, безгранично возрастает с ростом n. Отсюда следует, что при . Если , то популяция остается на постоянном уровне , . Это случай нулевого роста. Если , то и при . Заметим, что при популяция вымирает после первого же периода времени. Значения нас не интересуют, так как они приводят к отрицательным численностям.

Пример 1.4. Популяция бактерий первоначально насчитывала 1000 особей и постоянно увеличивалась с темпом роста 50 % в каждый час. Какова численность популяции после 10 часов роста?

Решение. Пусть – численность популяции бактерий после n часов роста. По условию задачи, и . Общее решение разностного уравнения есть . По прошествии 10 часов размер популяции составит .

Рассмотренное выше уравнение представляет собой пример линейного разностного уравнения первого порядка.

Определение 1.2. Линейным разностным уравнением первого порядка называется уравнение

, (1.3)

где и – заданные функции от n.

Если известно , то по уравнению можно определить .

Если , то уравнение (1.3) называется однородным, и неоднородным – в противном случае .

Рассмотрим однородное уравнение

(1.4)

Считая в (1.4) последовательно находим:

(1.5)

Формула (1.5) есть общее решение уравнения (1.4).

 

Пример 1.5. Рассмотрим популяцию бактерий, растущую от начального размера в 1000 особей таким образом, что ее размер по прошествии n+1 часов больше размера после n часов в раза. Какова численность популяции после 10 часов роста?

Решение. Пусть – размер популяции после n часов роста. Известно, что и что . Это разностное уравнение первого порядка при . Используя (1.5), имеем:

Размер популяции после 10 часов равен .

Рассмотрим теперь неоднородное уравнение (1.3). Считая из уравнения (1.3) последовательно находим:

(1.6)

 

Формула (1.6) дает общее решение неоднородного уравнения (1.3).

Пример 1.6. Популяция бактерий растет от начального размера в 1000 особей таким образом, что ее прирост в интервале от n до n+1 часов с начала роста составляет . Каков размер популяции после 10 часов роста?

Решение. По условию, и , где – размер популяции после n часов роста. Учитывая, что , , находим:

Общий вид решения таков:

.

Выражение в скобках представляет собой сумму членов геометрической прогрессии с параметрами . Используя формулу , получим:

.

Итак, .

После 10 часов роста размер популяции составит

.

С течением времени размер популяции бактерий приближается к предельному, или равновесному, размеру, равному 2000.


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Лекция 2. Разностные уравнения | Линейные разностные уравнения второго порядка

Дата добавления: 2014-03-11; просмотров: 590; Нарушение авторских прав




Мы поможем в написании ваших работ!
lektsiopedia.org - Лекциопедия - 2013 год. | Страница сгенерирована за: 0.003 сек.