Студопедия

Главная страница Случайная лекция


Мы поможем в написании ваших работ!

Порталы:

БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика



Мы поможем в написании ваших работ!




Основные законы и правила теории вероятностей

Читайте также:
  1. I ФИГУРА ЕЕ ОСОБЫЕ ПРАВИЛА И МОДУСЫ
  2. I. Основные принципы и идеи философии эпохи Просвещения.
  3. II. ОСНОВНЫЕ ФАКТОРЫ РАДИАЦИОННОЙ ОПАСНОСТИ И МЕДИЦИНСКИЕ ПОСЛЕДСТВИЯ ОТ ИХ ВОЗДЕЙСТВИЯ НА ОРГАНИЗМ.
  4. III. Основные политические идеологии современности.
  5. IV. В теории правового государства выделяются следующие элементы: принцип верховенства права, разделения власти на 3 ветви, независимости суда, конституционного статуса граждан.
  6. IV.5. Основные тенденции развития позднефеодальной ренты (вторая половина XVII—XVIII в.)
  7. V. АКУСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГОРНЫХ ПОРОД И МАССИВОВ. ОСНОВНЫЕ ФАКТОРЫ, ВЛИЯЮЩИЕ НА АКУСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГОРНЫХ ПОРОД
  8. V6. ОСНОВНЫЕ СЕМАНТИКО-СТИЛЕВЫЕ ОСОБЕННОСТИ ХУДОЖЕСТВЕННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ. ОБРАЗ АВТОРА
  9. Аксиомы теории вероятностей
  10. Аксиомы теории вероятностей

 

Вероятности сложных событий можно вычислять с помощью вероятностей более простых, пользуясь основными правилами (теоремами): сложения и умножения вероятностей.

II.2.4.1. Теорема сложения вероятностей.

Если А1, А2, …, Аn - несовместные события и А – сумма этих событий, то вероятность события А равна сумме вероятностей событий А1, А2, …, Аn:

 

(3.12)

 

Эта теорема непосредственно следует из аксиомы сложения вероятностей (3.8).

В частности, поскольку два противоположных события А и несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей

 

P(A) + P( ) = 1 (3.13)

 

Чтобы сформулировать в общем случае теорему умножения вероятностей, введем понятие условной вероятности.

Условная вероятностьсобытия А1 при наступлении события А2 – вероятность события А1, вычисленная в предположении, что событие А2 произошло:

 

P(А1 А2) = P(А1 А2)/P(А2). (3.14)

 

II.2.4.2. Теорема умножения вероятностей.

Вероятность произведения (совместного появления) двух событий А1 и А2 равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого, в предположении, что первое событие произошло:

 

(3.15)

 

Для любого конечного числа событий теорема умножения имеет вид

 

(3.16)

 

В случае, если события А1 и А2 независимы, то соответствующие условные вероятности

 

 

поэтому теорема умножения вероятностей принимает вид

 

(3.17)

 

а для конечного числа n независимых событий

 

(3.18)

 

Следствием правил сложения и умножения вероятностей является теорема о повторении опытов (схема Бернулли): опыты считаются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого из них не зависит от того, какие исходы имели другие опыты.

Пусть в некотором опыте вероятность события А равна P(А) = p, а вероятность того, что оно не произойдет P( ) = q, причем, согласно (3.13)

 

P(A) + P( ) = p + q = 1

 

Если проводится n независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью p, то вероятность того, что в данной серии опытов событие А появляется ровно m раз, определяется по выражению

 

(3.19)

 

где - биномиальный коэффициент.

 

Например, вероятность однократной ошибки при чтении 32-разрядного слова в формате ЭВМ, представляющего комбинацию 0 и 1, при вероятности ошибки чтения двоичного числа p = 10-3, составляет по (3.19)

 

 

где q = 1- p = 0,999; n = 32; m = 1.

 

Вероятность отсутствия ошибки чтения при m = 0, C032 = 1

 

 

Часто возникают задачи определения вероятностей того, что некоторое событие А произойдет по меньшей мере m раз или не более m раз. Подобные вероятности определяются сложением вероятностей всех исходов, которые составляют рассматриваемое событие.

 

Расчетные выражения для такого типа ситуаций имеют вид:

 

 

где Pn(i) определяется по (3.19).

 

При больших m вычисление биномиальных коэффициентов Cnm и возведение в большие степени p и q связано со значительными трудностями, поэтому целесообразно применять упрощенные способы расчетов. Приближение, называемое теоремой Муавра-Лапласа, используется, если npq>>1, а |m-np|<(npq)0,5, в таком случае выражение (3.19) записывается:

 

(3.20)

 

2. 5. Формула полной вероятности и формула Байеса (формула вероятностей гипотез)

 

В практике решения большого числа задач формула полной вероятности (ФПВ) и формула Байеса, являющиеся следствием основных теорем, находят широкое применение.

II.2.5.1.Формула полной вероятности.

Если по результатам опыта можно сделать n исключающих друг друга предположений (гипотез) H1, H2, … Hn, представляющих полную группу несовместных событий (для которой ), то вероятность события А, которое может появиться только с одной из этих гипотез, определяется:

 

P(A) = P(Hi ) P(A Hi ), (3.21)

 

где P(Hi) – вероятность гипотезы Hi;

P(А| Hi) – условная вероятность события А при гипотезе Hi.

 

Поскольку событие А может появиться с одной из гипотез H1, H2, … Hn, то А = АH1 H2 АHn , но H1, H2, … Hn несовместны, поэтому

 

В виду зависимости события А от появления события (гипотезы) Hi

P(AHi) = P(Hi)· P(А| Hi), откуда и следует выражение (3.21).

 

2.5.2.Формула Байеса (формула вероятностей гипотез).

 

Если до опыта вероятности гипотез H1, H2, … Hn были равны P(H1), P(H2), …, P(Hn), а в результате опыта произошло событие А, то новые (условные) вероятности гипотез вычисляются:

 

(3.22)

 

Доопытные (первоначальные) вероятности гипотез P(H1), P(H2), …, P(Hn) называются априорными, а послеопытные - P(H1| А), … P(Hn| А)апостериорными.

Формула Байеса позволяет «пересмотреть» возможности гипотез с учетом полученного результата опыта.

Доказательство формулы Байеса следует из предшествующего материала. Поскольку P(Hi А) = P(Hi) P(А| Hi) = P(Hi) P(Hi| А):

 

 

откуда, с учетом (3.21), получается выражение (3.22).

 

Если после опыта, давшего событие А, проводится еще один опыт, в результате которого может произойти или нет событие А1, то условная вероятность этого последнего события вычисляется по (3.21), в которую входят не прежние вероятности гипотез P(Hi), а новые - P(Hi| А):

 

(3.23)

 

Выражение (3.23) называют формулой для вероятностей будущих событий.

 

3.1. Случайные величины и их характеристики.

 

Случайной величиной Х называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем заранее неизвестное. Различают дискретные и непрерывные случайные величины.

Дискретная случайная величина – величина, принимающая только отделенные (разрозненные) друг от друга значения, которые можно заранее перечислить (например, число агрегатов, вышедших одновременно из работы).

Если дискретная случайная величина Х принимает значения Х1, Х2, …, Хm c заданными вероятностями Р1, Р2, …, Рm , то соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, называется законом распределения.

Для дискретных случайных величин закон распределения вероятностей наиболее просто задать с помощью таблиц распределения.

Непрерывная случайная величина – величина, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый промежуток (интервал) – например, изменения нагрузки.

 



<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Аксиомы теории вероятностей. Сопоставим каждому событию А число, называемое, как и прежде, его вероятностью и обозначаемое P(A) или P{A} | Единичные показатели надежности

Дата добавления: 2014-02-26; просмотров: 514; Нарушение авторских прав




Мы поможем в написании ваших работ!
lektsiopedia.org - Лекциопедия - 2013 год. | Страница сгенерирована за: 0.004 сек.