Студопедия

Главная страница Случайная лекция


Мы поможем в написании ваших работ!

Порталы:

БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика



Мы поможем в написании ваших работ!




Интервальные оценки

Читайте также:
  1. I 4. Условия эффективности педагогической оценки
  2. Алгоритм оценки научной публикации по разделам статьи Название
  3. Анализ предложенных критериев оценки эффективности вибрационного формования порошковых сред
  4. Балльная структура оценки
  5. Балльно-рейтинговая система оценки успеваемости
  6. Балльно-рейтинговая система оценки учебных достижений студентов
  7. Бухгалтерский и налоговый учет переоценки и продажи акций, обращающихся на ОРЦБ
  8. Важный момент отчета — обоснование выбора тех или иных методов оценки.
  9. Виды кислотности, методы определения и оценки
  10. Виды педагогической оценки

Интервальное оценивание особенно необходимо при малом количестве наблюдений, когда точечная оценка малонадежна.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами отрезков.

Оценивание с помощью доверительного интервала – это способ оценки, при котором с заданной доверительной вероятностью g устанавливают границы доверительного интервала.

Задачу интервального оценивания в самом общем виде можно сформулировать так: по данным выборки построить числовой интервал, относительно которого с заранее выбранной вероятностью можно сказать, что этот интервал покроет (накроет) оцениваемый параметр. Выбор значения доверительной вероятности не является математической задачей, а определяется конкретной решаемой проблемой.

Доверительным интервалом для параметра Q называется такой интервал, относительно которого можно с заранее выбранной вероятностью

g = 1 – a (9.6)

(близкой к единице), утверждать, что он содержит неизвестное значение параметра Q; a – уровень значимости.

Пусть Q* – несмещенная оценка параметра Q. Требуется оценить возможную при этом ошибку. По определенным правилам находят такое число d > 0, чтобы выполнялось соотношение:

P (|Q*– Q| < d) = g или P (Qmin < Q < Qmax) = g. (9.7)

Равенство означает, что интервал [Qmin; Qmax], где Qmin = Q* – d, а Qmax = Q* + d, заключает в себе оцениваемый параметр с доверительной вероятностью g .

Нижняя и верхняя граница доверительного интервала Q1 и Q2 определяются по результатам наблюдений, следовательно, сам доверительный интервал является случайной величиной. В связи с этим говорят, что доверительный интервал покрывает оцениваемый параметр с вероятностью g.

Надежность принято выбирать равной 0,95; 0,99; 0,999 – тогда событие, состоящее в том, что интервал [Qmin; Qmax], покрывает параметр Q будет практически достоверным.

При этом число d характеризует точность интервальной оценки: чем меньше d, тем оценка точнее и наоборот.

 

9.1.2.1. Интервальная оценка математического ожидания при известной дисперсии.

Пусть случайная величина Х Î N (М[Х]; D[Х] ) распределена по нормальному закону, причем математическое ожидание неизвестно, а дисперсия D[Х] = s2 известна. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание. По наблюдениям найдем точечную оценку М[Х]* математического ожидания. Зададимся вероятностью g и найдем такое число d, чтобы выполнялось соотношение:

. (9.8)

Доказано, что построение доверительного интервала в этом случае осуществляется по формуле:

, (9.9)

где tу – значение стандартной нормальной величины, соответствующее надежности , а Ф(tу) – функция Лапласа; s – среднее квадратическое отклонение.

Очевидно, что увеличение надежности g приводит к увеличению функции Ф(tу) и соответственно увеличению параметра tу, что в свою очередь увеличивает величину d. То есть увеличение надежности оценки ведет к снижению ее точности (увеличению погрешности).

При этом точность оценки математического ожидания равна:

. (9.10)

Очевидно, что с увеличением объема выборки n величина погрешности d уменьшается, т.е. точность оценки повышается.

Формула (9.10) позволяет определить необходимый объем выборки для оценки математического ожидания с наперед заданной точностью и надежностью:

. (9.11)

Смысл формулы (9.8) состоит в следующем: с надежностью g доверительный интервал покрывает неизвестный параметр М[Х]*генеральной совокупности. Можно сказать иначе: точечная оценка М[Х]* определяет значение параметра Х генеральной совокупности с точностью и надежностью g.

 

В результате можно сформулировать алгоритм отыскания границ доверительного интервала для математического ожидания, если известна дисперсия D [Х] = s2:

1. Задать значение надёжности – g.

2. По величине выбрать значение tу из таблицы для функции Лапласа.

3. Вычислить точность оценки математического ожидания

4. Записать доверительный интервал по формуле

Каждому доверительному интервалу соответствует свое критическое значение. Например, для g = 0,95 t у = ± 1,96, а для g = 0,99 и a = 0,01 t у = ± 2,58.

 

Рис. 9.1. Гауссова кривая для g = 0,95 и g = 0,99

Пример 9.1. Случайная величина имеет нормальное распределение. Найти доверительные интервалы для оценки с надежностью 0,96 неизвестного математического ожидания а, если объем выборки n = 49, генеральное среднее квадратическое отклонение s = 5; выборочная средняя М[X]* = 30.

Решение.

Поскольку g = 0,96, то Ф(tg) = g/2 = 0,48. По табл. функции Лапласа находим для Ф(tg) = 0,48 tg = 2,06.

Точность оценки математического ожидания:

,

.

28,53 < М [X]*< 31,47.

 

Пример 9.2. Имеется генеральная совокупность с некоторой характеристикой, распределенной по нормальному закону. Дисперсия равна 6,25. Выборка имеет объем n = 27. Получено средневыборочное значение характеристики `х = 27. Найти доверительный интервал с надежностью g = 0,99, покрывающий неизвестное математическое ожидание исследуемой характеристики.

Решение. Для Ф(tg) = 0,99/2 = 0,495 tg = 2,58.

,

Отсюда, доверительный интервал (10,76; 13,24).

 

Пример 9.3. Найти минимальный объем выборки n, при котором с надежностью 0,95 можно утверждать, что точность оценки математического ожидания M[X], по выборочному среднему арифметическому равна d = 0,2, если известно, что среднее квадратическое отклонение s = 2,0. Предполагается, что выборка величины нормально распределена.

Решение: По таблице находим, что при Ф(t) = 0,95/2 = 0,475 t = 1,96.

Значит, объем выборки должен бать не менее 385.

 


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Оценка математического ожидания | Интервальная оценка математического ожидания при неизвестной дисперсии

Дата добавления: 2014-11-24; просмотров: 515; Нарушение авторских прав




Мы поможем в написании ваших работ!
lektsiopedia.org - Лекциопедия - 2013 год. | Страница сгенерирована за: 0.003 сек.