Главная страница Случайная лекция Мы поможем в написании ваших работ! Порталы: БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика Мы поможем в написании ваших работ! |
Теорема Банаха
Пусть - банахово пространство. Рассмотрим уравнение , (1) где - (в общем случае) нелинейный оператор. Если является решением уравнения (1), т.е. справедливо равенство , то называется неподвижной точкой (элементом) оператора . Утверждения о существовании неподвижных точек составляют специальный раздел функционального анализа, который имеет многочисленные приложения, в том числе, для доказательства существования решения краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Пусть . Говорят, что оператор на множестве удовлетворяет условию Липшица с постоянной , если для любых выполняется неравенство . Очевидно, что такой оператор является непрерывным. Если 1, то оператор осуществляет сжимающееся отображение множества (является оператором сжатия). Теорема (Банах). Пусть непустое замкнутое множество и оператор удовлетворяет условию Липшица с постоянной 1. Тогда существует единственная неподвижная точка оператора , принадлежащая . Доказательство. Докажем, что неподвижную точку можно найти как предел последовательности приближения. Произвольно зафиксируем и построим последовательность следующим образом: положим , , . Сначала докажем, что является фундаментальной последовательностью. Пусть . Тогда , Учитывая, что 1, оценим ( ) . Следовательно, . Из этого неравенства и следует, что - фундаментальная последовательность. В силу замкнутости последовательность имеет предел , . Рассмотрим равенство и перейдем в нем к пределу при . Учитывая непрерывность (из условия Липшица) оператора , получим . Это и означает, что - неподвижная точка оператора . Докажем единственность неподвижной точки. Доказательство проведем «от противного». Пусть существует две неподвижные точки . Тогда . Отсюда получим, что , что противоречит условию теоремы. Полученное противоречие, доказывает, что неподвижная точка единственна. Теорема доказана. Подчеркнем, что построенные в доказательстве приближения стремятся к единственной неподвижной точке независимо от выбора «начального приближения» . Тот или иной выбор влияет только на «скорость» сходимости в качестве коэффициента. При этом сама сходимость определяется постоянной Липшица: чем меньше константа, тем быстрее сходится приближение с порядком сходимости . Отметим также, что в условиях теоремы Банаха выполнение условия существенно. Теорема Банаха позволяет доказать не только существование неподвижной точки, но устанавливает факт её единственности. В качестве примера применения теоремы Банаха рассмотрим задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. (1) где - непрерывная функция двух переменных. Искомое решение предполагается непрерывно дифференцируемой функцией, определенной на . Рассмотрим интегральное уравнение (2) в пространстве . Если существует решение уравнения (2), то оно является и решением задачи Коши (1). Действительно, при выполнении (2) функция непрерывна и непрерывно дифференцируема. Продифференцируем (2) и получим, что решение уравнения (2) удовлетворяет и дифференциальному уравнению задачи (1). Кроме того, при выполняется и начальное условие. Представим уравнение (2) в виде операторного уравнения , где , полагая . Для доказательства существования единственности решения задачи Коши проверим, что оператор удовлетворяет условиям теоремы Банаха на всем пространстве, т.е. . На пространстве далее рассматривается макс-норма. Теорема (существование единственности решения задачи Коши). Пусть выполнены условия 1) по второму аргументу удовлетворяет условию Липшица с константой , т.е. , 2) . Тогда существует решение задачи коши (1). Это решение можно найти методом последовательных приближений интегрального уравнения (2). Доказательство. Достаточно проверить, что оператор при произвольно фиксированном удовлетворяет условию Липшица с константой меньше единицы. Имеем Перейдем в этом неравенстве к максимуму по и получим: Так как по условию теоремы, то оператор является сжимающим. По теореме Банаха имеет единственную неподвижную точку, которая будет решением интегрального уравнения (2). Теорема доказана.
Дата добавления: 2015-06-30; просмотров: 269; Нарушение авторских прав Мы поможем в написании ваших работ! |