Производная функции

Пусть функция y =определена в окрестности точки x₀, - приращение аргумента x, - приращение функции (рис 1а).

Определение 1. Производной функции в точке x₀ называется конечный предел , если он существует.

Производная функциив точке x₀ обозначается или . Через y¢ или обозначают производную функции y =в точке x.

Замечание 1. Пусть предел в определении 1 равен +∞ (или – ∞). В этом случае говорят, что производная =+∞ (или – ∞).

Определение 2.Если для любого достаточно малого Δx выполняется равенство

,

где A - постоянная, α - бесконечно малая функция при Δx→0, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке x₀ (см. рис. 1а). Величина A∙Δx называется дифферециалом функции f(x) в точке x₀ и обозначается символом df(x₀). Дифферециал функции y = f(x) в точке x обозначается символом dy.

Теорема 1.Функция y = f(x) имеет в точке x (конечную) производную в том и только в том случае, если она дифференцируема в этой точке. При этом верно равенство

dy = f ′ (x) dx. (1)

В силу этой теоремы выражения “функция дифференцируема” и “функция имеет производную” означают одно и то же.

2. Таблица производных некоторых функций.

1. ()	2.	3.
4.	5.	6.
7.	8.	9.
10.	11.	12.
13.	14.	15.
16.	17.	18.
19.	20.	21.

3. Действия над дифференцируемыми функциями.Пусть С – постоянная, и - дифференцируемые функции. Тогда

(1) (С f (x))¢ = С f ¢(x),

(2) ,

(3) ,

(4) ,

Дата добавления: 2014-02-28; просмотров: 599; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!