Главная страница Случайная лекция Мы поможем в написании ваших работ! Порталы: БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика Мы поможем в написании ваших работ! |
Подмножества множеств. Алгебра подмножеств
Два множества A и B равны, если они состоят из одних и тех же элементов. Из этого принципа следует, что для любых двух различных множеств всегда найдется некоторый объект, являющийся элементом одного из них и не являющийся элементом другого. Так как пустые совокупности не содержат элементов, то они не различимы и поэтому пустое множество – единственно. Подмножества.Определение равенства множеств можно сформулировать иначе, используя понятие подмножества. Определение. Множество A называется подмножеством множества B , если каждый элемент A является элементом B. . Следствие 1. Очевидно, для любого множества A, т.к. каждый элемент из A есть элемент из A. Следствие 2. Для любого множества A, , ибо если бы пустое множество не являлось подмножеством A, то в пустом подмножестве существовали бы элементы, не принадлежащие A. Однако пустое множество не содержит вообще ни одного элемента. Если , то пишут , и если , то A – собственное подмножество B. Понятие подмножества множеств позволяет легко формализовать понятие равенства двух множеств. Утверждение.Для любых A и B . (1.1) Логическую эквивалентность, определяемую выражением (1.1) используют как основной способ доказательства равенства двух множеств. Замечание.Отношение включения Í обладает рядом очевидных свойств: (рефлексивность); (транзитивность).
Для любого множества X можно определить специальное множество всех подмножеств множества X, которое называется булеаном ℬ , которое включает в себя само множество X, все его подмножества и пустое множество . Пример.Пусть – это множество, состоящее из трех элементов. Тогда булеан ℬ(X) это множество: ℬ Собственными подмножествами ℬ(X) являются следующие множества: {a},{b},{c},{a,b},{b,c},{a,c}. В общем случае, если множество X содержит n элементов, то множество его подмножеств ℬ(X) состоит из элементов.
Дата добавления: 2015-06-30; просмотров: 264; Нарушение авторских прав Мы поможем в написании ваших работ! |