Главная страница Случайная лекция Мы поможем в написании ваших работ! Порталы: БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика Мы поможем в написании ваших работ! |
Решение. 1)Находим область определения функции: = )
1)Находим область определения функции: = ). 2)Поскольку данная функция является элементарной, то областью её непрерывности является область определения , а точками разрыва являются точки и , не принадлежащие множеству , но являющиеся предельными точками этого множества (точками в любой окрестности которых содержатся точки данного множества). Исследуем характер разрыва в точках и , вычислив в них односторонние пределы функции: , , , . Так как односторонние пределы функции в точках и - бесконечные, то данные точки являются точками бесконечного разрыва. 3)Функция не является периодической. Функция , в аналитическое выражение которой входит хотя бы одна непериодическая функция периодической не является. Проверяем является ли функция чётной или нечётной. Так как область определения функции = ) не симметрична относительно точки , то данная функция – общего вида. 4)Находим точки пересечения графика с осями координат. Так как , то точек пересечения графика с осью нет. Положим и решим уравнение . Его решением является . Следовательно, точка - точка пересечения графика с осью . 5)Находим вертикальные и наклонные асимптоты графика функции. Прямая является вертикальной асимптотой, тогда и только тогда, когда является точкой бесконечного разрыва функции . Так как точки и - точки бесконечного разрыва данной функции, то вертикальными асимптотами графика функции являются прямые и . Прямая является наклонной асимптотой графика функции при тогда и только тогда, когда одновременно существуют конечные пределы: и . Вычисляем сначала пределы при : , . В дальнейшем будем иметь в виду следующий часто встречающийся предел: Следовательно , т.е. - наклонная (горизонтальная) асимптота графика функции при . Аналогично вычисляем пределы при : , Следовательно , т.е. - наклонная (горизонтальная) асимптота графика функции при . 6)Определяем интервалы возрастания, убывания, экстремумы функции. Для этого находим первую производную функции:
и определяем критические точки функции , т.е. точки в которых или не существует: ; не существует при и . Таким образом, единственной критической (стационарной) точкой функции является точка . Исследуем знак производной в интервалах, на которые критические точки функции разбивают её область определения , и найдём интервалы возрастания, убывания, экстремумы функции. Результаты исследования представим следующей таблицей:
Так как при переходе слева направо через точку производная меняет знак с «+» на « », то точка является точкой локального максимума и . 7)Определяем интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба графика функции. Для этого находим вторую производную функции: и определяем точки возможного перегиба , т.е. точки в которых или не существует: , так как (квадратное уравнение не имеет действительных корней); не существует при и . Таким образом, функция не имеет точек возможного перегиба. Исследуем знак второй производной в интервалах, на которые точки возможного перегиба функции разбивают её область определения , и найдём интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба графика функции. Результаты исследования представим таблицей:
Точек перегиба нет. 8)На основании полученных результатов строим график функции:
Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 250; Нарушение авторских прав Мы поможем в написании ваших работ! |