Обратная матрица

Date: 2015-10-07; view: 541.

Обратной матрицей называется матрица, которая при умножении как справа, так и слева на данную матрицу дает единичную матрицу.
Обозначим обратную матрицу к матрице А через , тогда согласно определению получим:

где Е – единичная матрица.
Квадратная матрица называется неособенной (невырожденной), если ее определитель не равен нулю. В противном случае она называется особенной (вырожденной) или сингулярной.

Имеет место теорема: всякая неособенная матрица имеет обратную матрицу.

Операция нахождения обратной матрицы называется обращением матрицы. Рассмотрим алгоритм обращения матрицы. Пусть дана неособенная матрица n-го порядка:

где Δ = det A ≠ 0.

Алгебраическим дополнением элемента матрицы n -го порядка А называется взятый с определенным знаком определитель матрицы (n –1)-го порядка, полученной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца матрицы А:

Составим так называемую присоединенную матрицу:

где – алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы А.
Заметим, что алгебраические дополнения элементов строк матрицы А размещаются в соответствующих столбцах матрицы Ã, то есть одновременно производится транспонирование матрицы.
Разделив все элементы матрицы Ã на Δ – величину определителя матрицы А, получим в результате обратную матрицу :

Отметим ряд особых свойств обратной матрицы:
1) для данной матрицы А ее обратная матрица является единственной;
2) если существует обратная матрица , то правая обратная и левая обратная матрицы совпадают с ней;
3) особенная (вырожденная) квадратная матрица не имеет обратной матрицы.

Основные свойства обратной матрицы:
1) определитель обратной матрицы и определитель исходной матрицы являются обратными величинами;
2) обратная матрица произведения квадратных матриц равна произведениюобратных матриц сомножителей, взятому в обратном порядке:

3) транспонированная обратная матрица равна обратной матрице от данной транспонированной матрицы:

П р и м е р . Вычислить матрицу, обратную данной:

Р е ш е н и е . Определитель матрицы А равен:

Следовательно, матрица А неособенная. Присоединенная матрица Ã имеет вид:

Разделив все элементы присоединенной матрицы Ã на Δ = 1, получим обратную матрицу :

Проверим, что действительно,

Таким образом, найденная матрица является обратной для заданной матрицы А.

Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно). Назван по имени Габриэля Крамера (1704–1752), придумавшего метод.

[править]Описание метода

Для системы линейных уравнений с неизвестными (над произвольным полем)

с определителем матрицы системы , отличным от нуля, решение записывается в виде

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).
В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c₁, c₂, …, c_n справедливо равенство:

В этой форме формула Крамера справедлива без предположения, что отлично от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца(определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы и , либо набор состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом. В этом виде формула Крамера используется, например, при доказательстве формулы для определителя Грама и Леммы Накаямы.

[править]Пример

Система линейных уравнений:

Определители:

Решение:

Пример:

Определители:

[править]Вычислительная сложность

Метод Крамера требует вычисления определителей размерности . При использовании метода Гаусса для вычисления определителей, метод имеет временную сложность порядка , что хуже, чем если бы метод Гаусса напрямую использовался для решения системы уравнений. Поэтому метод считался непрактичным. Однако в 2010 году было показано, что метод Крамера может быть реализован со сложностью , сравнимой со сложностью метода Гаусса.^[1]

Теорема Безу. Если многочлен разделить на двучлен x - a, то в остатке получим число R, равное значению данного многочлена при x = a, т. е. R = P_n(a).

Схема сокращенного деления многочлена на двучлен. При делении многочлена , расположенного по убывающим степеням x, на двучлен x - a применяется метод сокращенного деления, называемый схемой Горнера.

Имеют место следующие формулы для нахождения коэффициентов частного b₁, b₂, ..., b_n-1 и остатка R:

Практически вычисление коэффициентов частного Q_n-1(x) и остатка R проводится по следующей схеме (схеме Горнера).

Пусть требуется разделить многочлен на двучлен x - a.

Значение a двучлена, коэффициенты многочлена (b_n-1, b_n-2, ..., b₀) и остаток запишем в следующей форме:

Отсюда записываем частное

если R = 0, и результат деления

или ,

если R ≠ 0.