Неперервність функцій

Date: 2015-10-07; view: 403.

4.2.1. Короткі теоретичні відомості

1. Функція у = f (x), визначена в точці х₀ і деякому околі цієї точки, називається неперервною в точці х_о, якщо $ .

Іншими словами, якщо х ® х₀ , тобто (х - х₀) ® 0, то , тобто

( - ) ® 0

х - х₀ = Dx - називається приростом аргументу;

f(x) - f(x₀) = f(x₀ + Dx) - f(x₀) = Dу - приріст функції, отже означення неперервної функції можна дати по-іншому:

Функція у = f (x), визначена в точці х₀ і деякому околі цієї точки, називається неперервною в точці х₀, якщо Dх та Dу в цій точці є нескінченно малими величинами (тобто нескінченно малому приросту аргумента відповідає нескінченно малий приріст функції).

2. Якщо функція неперервна в " точці деякого інтервала, то вона називається неперервною в інтервалі.

3. Умови неперервності:

Функція у = f (x) буде неперервною в точці х₀ тоді і тільки тоді, коли вона визначена в деякому околі точки х₀ і виконується:

Якщо хоча б одна рівність не виконується, то х₀ - точка розриву.

1) - розрив 1 роду усувний або ліквідовний.

2) , обидві границі скінченні - розрив 1 роду, стрибок;

величина стрибка d = | |

3) , причому хоча б одна з границь не існує або нескінченна, - розрив 2 роду.

Надалі будемо використовувати такі умовні позначення:

- 0 – від`ємна нескінченно мала;

+ 0 – додатна нескінченно мала;

- ¥ - від`ємна нескінченно велика;

+ ¥ - додатна нескінченно велика;

а – 0 – число, що менше за а на нескінченно малу;

а + 0 – число, що більше за а на нескінченно малу.