Студопедия
rus | ua | other

Home Random lecture

Система n- линейных уравнений с m переменными. Теорема Кроникера-Капелли. Базисное и частное решения.

Date: 2015-10-07; view: 785.

Теорема Кронекера-Капелли. Для того чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы.

Если при этом ранг равен числу неизвестных, то система имеет единственное ре­шение, если он меньше числа неизвестных, решений -множество.

Пример. Исследовать систему линейных уравнений

Решение. Поскольку все элементы матрицы системы входят в расширенную мат­рицу, то ранги обеих матриц можно вычислять одновременно.

~ ~

~ .

Таким образом, матрица содержит две ненулевые строки, значит ее ранг равен двум. В матрице три ненулевых строки, ее ранг равен трем. А т.к. , система несовместна.

Запишем систему в виде:

 

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

 

Добавим 3-ую строку к 2-ой:

 

Умножим 3-ую строку на (2). Добавим 4-ую строку к 3-ой:

 

Умножим 1-ую строку на (3). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

 

Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

 

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

 

Добавим 2-ую строку к 1-ой:

 

Теперь исходную систему можно записать как:

x2 = [6 - (9x3)]/(-3)

x1 = [0 - (5x2 + 7x3 - 10x4)]/(-4)

Необходимо переменные x3,x4 принять в качестве свободных переменных и через них выразить остальные переменные.

Приравняем переменные x3,x4 к 0

Из 3-ой строки выражаем x2

 

Из 4-ой строки выражаем x1

 

Пример 1. Найти общее решение и какое–нибудь частное решение системы

Решение. Выпишем расширенную и основную матрицы:

Пунктиром отделена основная матрица A. Сверху пишем неизвестные системы, имея в виду возможную перестановку слагаемых в уравнениях системы. Определяя ранг расширенной матрицы, одновременно найдем ранг и основной. В матрице B первый и второй столбцы пропорциональны. Из двух пропорциональных столбцов в базисный минор может попасть только один, поэтому перенесем, например, первый столбец за пунктирную черту с обратным знаком. Для системы это означает перенос членов с x1 в правую часть уравнений.

Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы. Работаем с первой строкой: умножим первую строку матрицы на (-3) и прибавим ко второй и третьей строкам по очереди. Затем первую строку умножим на (-2) и прибавим к четвертой.

Вторая и третья строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например вторую, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию второго уравнения системы, так как оно является следствием третьего.

Теперь работаем со второй строкой: умножим ее на (-1) и прибавим к третьей.

Минор, обведенный пунктиром, имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали), причем этот минор принадлежит как основной матрице, так и расширенной, следовательно rangA = rangB = 3.
Минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x2, x3, x4, значит, неизвестные x2, x3, x4 – зависимые, а x1, x5 – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор (что соответствует пункту 4 приведенного выше алгоритма решения).

Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид

Методом исключения неизвестных находим:
, ,

Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x2, x3, x4 через свободные x1 и x5, то есть нашли общее решение:

Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Найдем два частных решения:
1) пусть x1 = x5 = 0, тогда x2 = 1, x3 = -3, x4 = 3;
2) положим x1 = 1, x5 = -1, тогда x2 = 4, x3 = -7, x4 = 7.
Таким образом, нашли два решения: (0,1,-3,3,0) – одно решение, (1,4,-7,7,-1) – другое решение.

10. Однородная система линейных уравнений. Фундаментальная система решений. Системы линейных уравнений в экономических задачах.

Однородной системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

 
ì ï ï í ï ï î
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = 0
… … … … … … … … … … …
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = 0
 
 
(1)

Эта система может быть записана в виде матричного уравнения

A · X = O
1. Решить систему уравнений методом Гаусса. Решение. Выполним элементарные преобразования над строками матрицы коэффициентов, приведя ее к ступенчатому виду: Ранг матрицы равен 3, тогда как число неизвестных равно 4. Поэтому одну из неизвестных, например, следует рассматривать как свободный параметр. Далее нужно присвоить этому параметру произвольное значение и выразить базисные неизвестные , и через c. Преобразованная матрица соответствует следующей системе уравнений: Из последнего уравнения следует, что . Выразим остальные базисные переменные: Таким образом, общее решение системы найдено: Чтобы найти частное решение, нужно придать параметру c какое-нибудь числовое значение. Полагая c = 4, получаем Проверка: Подставим неизвестные в уравнения системы: Уравнения обратились в тождества.

 

***

2. Пусть . Найти общее решение однородной системы линейных уравнений AX = 0. Решение. Преобразуем коэффициентную матрицу к ступенчатому виду: Поскольку , а число неизвестных равно 4, то две неизвестные должны рассматриваться как базисные, а оставшиеся переменные как свободные параметры. Полагая и , получаем уклрлченную систему уравнений решение которой имеет вид , . Запишем общее решение и представим его в виде линейной комбинации частных решений: Если общее решение однородной системы представлено в виде линейной комбинации типа то говорят, что частные решения образуют фундаментальную систему решений. В рассматриваемом случае фундаментальную систему решений образуют частные решения и .

 

***

3. Предположим, что общее решение однородной системы уравнений имеет вид Очевидно, что и поэтому частные решения образуют фундаментальную систему решений.

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены уравнений равны нулю:

Однородная система всегда совместна, поскольку она всегда имеет тривиальное (нулевое) решение. Однако наибольший интерес представляют нетривиальные решения.

Теорема 1. Однородная система линейных уравнений имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы меньше числа неизвестных: r(A)=r<n.

Справедливо следующее утверждение: линейная комбинация решений однородной системы линейных уравнений также является ее решением.

Максимальная линейно независимая система решений называется фундаментальной системой решений однородной системы уравнений. Фундаментальная система решений содержит (n-r) векторов. Любое решение системы может быть представлено в виде линейной комбинации векторов фундаментальной системы решений.

Для нахождения фундаментальной системы решений нужно:

1) r базисных переменных выразить через свободные переменные;

2) выбрать линейно независимую систему (n-r) векторов (n-r)-мерного пространства (например, это могут быть единичные векторы);

3) поочередно заменить свободные переменные координатами векторов выбранной системы и вычислить значения базисных переменных.

Полученные решения , , …, образуют фундаментальную систему решений. Тогда общее решение однородной системы уравнений имеет вид

,

где - произвольные числа.

 

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ РЕШЕНИИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В современной экономике используется множество математических методов, разработанных ещё в 20 веке. Применение линейной алгебры значительно упростило решение многих экономических задач. В данной работе рассматриваются основные способы решения задач с помощью элементов линейной алгебры. Понятие матрицы и основанный на нем раздел математики – матричная алгебра – имеют большое значение для экономистов, основная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в простой и компактной матричной форме. С помощью матриц удобно описывать различные экономические закономерности. Например, дана следующая таблица средних розничных цен на автомобили в зависимости от срока их службы (условных единиц).
Продолжительность службы (годы) Годы
 

Предложенную таблицу можно записать в виде матрицы следующим образом:

где содержательное значение каждого показателя определяется его местом в матрице. К примеру, число 1825 во второй строке третьего столбца представляет собой цену прослужившего 2 года автомобиля в 2007 году. Аналогичным образом находим, что числа, записанные в строку, характеризуют цены автомобилей, прослуживших один и тот же срок в различные годы, а числа в столбце – цены автомобилей различного срока службы в данном году.

Таким образом, место, занимаемое числом в матрице, характеризует продолжительность использования автомобиля и год, к которому относится цена.

Применение матриц при решении экономических задач рассмотрим на следующем примере. Предприятие выпускает продукцию трех видов P1, P2, P3 и использует сырье двух типов: S1, S2. Нормы расхода сырья характеризуются матрицей:

где каждый элемент aij (i = 1, 2, 3; j = 1,2) показывает, сколько единиц сырья j-го типа расходуется на производство единицы продукции i-го вида. План выпуска продукции задан матрицей-строкой C = (100 80 130).Стоимость единицы каждого типа сырья (денежных единиц) – матрицей-столбцом . Необходимо найти общую стоимость сырья.

Решение: Затраты первого сырья составляют S1 = 2∙100 + 5∙80 + 1∙130 = 730единиц, а второго S2 = 3∙100 + 2∙80 + 4∙130 = 980 единиц. Значит затраты сырья S могут быть записаны в виде матрицы строки (730 980) и произведения:

Общая стоимость сырья

Q = 730∙30 + 980∙50 = 70900 (денежных единиц)

может быть записана в следующем виде:

Q = S∙B = (CA)B = (70900).

Вывод: общая стоимость сырья составляет 70900.

Также экономические задачи можно решать с помощью систем линейных уравнений.

Рассмотрим и решим с помощью системы линейных уравнений следующую задачу:

Из определенного листового материала необходимо выкроить 360 заготовок типа А, 300 заготовок типа Б и 675 заготовок типа В. При этом можно применять три способа раскроя. Количество заготовок, получаемых из каждого листа при каждом способе раскроя, указано в таблице:

Тип заготовки Способ раскроя
А
Б
В

Записать в математической форме условия выполнения задания.

Решение: Обозначим через x, y, z количество листов материала, раскраиваемых соответственно первым, вторым и третьим способами. Тогда при первом способе раскроя x листов будет получено 3 заготовок типа А, при втором – 2y, при третьем – z. Для полного выполнения задания по заготовкам типа А должно выполняться равенство:

.

Таким же способом получаем уравнения:

Имеем систему:

Данным уравнениям должны удовлетворять неизвестные x, y, z для того, чтобы выполнить задание по заготовкам Б и В. Полученная система линейных уравнений и выражает в математической форме условия выполнения всего задания по заготовкам А, Б и В.

Решим систему методом Гаусса.

1. Запишем систему в виде матрицы.

2. Составим расширенную матрицу системы.

3. Приведём полученную матрицу к треугольному виду.

Исходная система равносильна следующей:

Решая полученную систему, имеем: x = 90, y = 15, z = 60.

Вывод: вектор C (90, 15, 60) есть решение системы.

Также, говоря, о роли линейной алгебры в экономике нельзя не упомянуть о модели многоотраслевой экономики Леонтьева, которая была разработана в виде математической модели в 1936 году. Эта модель основана на алгебре матриц и использует аппарат матричного анализа.

Рассмотрим задачу:

В таблице приведены коэффициенты прямых затрат и конечная продукция отраслей на плановый период, усл. ден. ед.

Отрасль Потребление Конечный продукт
Промышленность Сельское хозяйство
Производство Промышленность 0,3 0,2
Сельское хозяйство 0,15 0,1

Найти: плановые объёмы валовой продукции отраслей, межотраслевые поставки, чистую продукцию отраслей.

Решение:

1. Выпишем матрицу коэффициентов прямых затрат A, вектор конечной продукции Y:

Заметим, что матрица A продуктивна, так как её элементы положительны и сумма элементов в каждом столбце меньше единицы.

2. Найдем матрицу

Тогда матрица полных затрат:

3. По формуле X = (E – A)–1⋅Y = SY найдем вектор валового продукта X:

4. Межотраслевые поставки xij найдём по формуле xij = aij∙xj

X11 = a11∙x1 = 0,3·483 = 144,9;

X12 = 0,2·192 = 38,4;

X21 = 0,15·483 = 72,45;

X22 = 0,1·192 = 19,2.

5. Чистая продукция промышленности равна: 483 – 144,9 – 72,45 = 265,65

Чистая продукция сельского хозяйства: 192 – 38,4 – 19,2 = 134,4.

Итак, рассмотрев в данной статье некоторые задачи и их решения, можно сказать, что это лишь небольшая часть математических методов, используемых в экономике. Экономика и математика, очень тесно связаны и постепенно математические методы и модели начинают занимать очень важное место в экономике.

11.Векторы, основные понятия, действия над векторами в геометрической и координатной форме.

<== previous lecture | next lecture ==>
Классификация систем линейных уравнений. Решение системы 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными. Метод Гаусса, метод Крамера, матричный метод. | Основные определения.
lektsiopedia.org - 2013 год. | Page generation: 0.278 s.