Канонический вид квадратичной формы

Date: 2015-10-07; view: 500.

Квадратичная форма называется канонической, если все т. е.

Всякую квадратичную форму можно привести к каноническому виду с помощью линейных преобразований. На практике обычно применяют следующие способы.

1. Ортогональное преобразование пространства :

где - собственные значения матрицы A.

2. Метод Лагранжа - последовательное выделение полных квадратов. Например, если

Затем подобную процедуру проделывают с квадратичной формой и т. д. Если в квадратичной форме все но есть то после предварительного преобразования дело сводится к рассмотренной процедуре. Так, если, например, то полагаем

3. Метод Якоби (в случае, когда все главные миноры квадратичной формы отличны от нуля):

Теорема 1. Любая симметричная квадратная матрица порядка n имеет n действительных собственных значений и собственных векторов. Собственные векторы симметричной матрицы попарно ортогональны.

Следовательно, собственные векторы матрицы образуют базис в пространстве .

Определение 3. Рангом квадратичной формы называется ранг матрицы А.

Определение 4. Квадратичная форма называется положительно определенной (отрицательно определенной), если для любого

>0 (<0).

20. критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы. (посмотреть в тетради)

Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все левые верхние угловые миноры матрицы Аявляются положительными, т.е.

,

,

,

.