Тема 1.3. Метод Гаусса

Date: 2015-10-07; view: 476.

Решить систему линейных уравнений

Системы линейных неравенств с двумя неизвестными

а)по формулам Крамера

Система линейных уравнений:

Определители:

Решение:

Пример:

Определители(ищем по правилу определителя третьего порядка):

б) методом Гаусса

Метод Гаусса является одним из наиболее эффективных и универсальных методов решения линейных систем. Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе система (1.7) приводится к треугольному виду; на втором этапе идет последовательное определение неизвестных из полученной треугольной системы.

Применим данный метод д ля решения системы (1.7).

Пусть в системе (1.7) а ₁₁ не равно 0. Этого можно добиться несколькими способами, в числе которых перестановка уравнений местами, элементарные преобразования над строками. Все преобразования в дальнейшем будем проводить с расширенной матрицей. Нужно исключить все коэффициенты при х₁, т.е. обратить все элементы первого столбца, начиная со второй строки в 0. Разделим первую строку на а ₁₁ , т.е. преобразуем систему в равносильную так, чтобы а ₁₁ =1.

Для определенности, выберем неизвестное х₁ так, чтобы коэффициент при нем не был равен 0.

Исключим теперь х₁ из остальных уравнений системы. Будем умножать первую строку расширенной матрицы (1.9)(в нашем случае строка имеет вид- 1.10) последовательно на а₂₁, а₃₁,..., а _{n 1} и вычитать соответственно из 2-й, 3-й и т.д. строк и, наконец, из последней строки. Преобразованная расширенная матрица будет соответствовать системе уравнений с n неизвестными:

Применяя предложенным метод исключения теперь ко второй, третьей и т.д. строкам, получаем систему вида

Возможны следующие случаи.

1. Одна из строк расширенной матрицы соответствует уравнению вида: 0+0+0+...+0= b'_r . Причем b'_r не равен 0. В этом случае система несовместна.

2. Последнее уравнение системы имеет вид: a' _nn x_n = b'_n

В этом случае получаем единственное решение.