Жорданова нормальна форма матриці

Date: 2015-10-07; view: 1555.

Озн. Клітинкою Жордана -го порядку називається квадратна матриця такого вигляду:

.

Припустимо, що це є матриця деякого лінійного оператора в базисі . З'ясуємо, як же між собою співвідносяться базисні вектори.

За правилом побудови матриці оператора маємо:

або

Тобто – власний вектор оператора з власним числом .

Вектор називається приєднаним до .

– приєднаний до ; і так далі. Тобто базис складається з одного власного вектора та ланцюжка приєднаних один до одного векторів.

Якщо – клітинно-діагональна матриця з клітинками Жордана по головній діагоналі

, де ,

то базис, в якому вона має такий вигляд (жорданів базис), складається з власних векторів з власними числами і ланцюжками приєднаних: .

Розберемо 4 приклади, на яких будуть продемонстровані методи та прийоми побудови жорданової форми матриці та жорданового базису.

Приклад 1.

Знаходимо власні числа:

Зауважимо, що треба завжди намагатися запропонувати такі дії над рядками і стовпчиками визначника, які б дозволили відокремити лінійні множники характеристичного многочлена.

Знаходимо власні вектори:

;

власні вектори

клітинки Жордана.

;

.

Таким чином, для існує лінійно незалежні власні вектори:

.

Аналогічно для :

;

;

– власний вектор для .

Отже, ми знайшли лінійно незалежних власних вектори, які і складають жорданів базис – Матриця в такому базисі має вигляд:

Якщо – матриця переходу, то перевірка підтверджує наш результат.

Приклад 2.

.

Знайдемо власні вектори:

власний вектор клітинка Жордана.

;

; – єдиний власний вектор для .

Тому вже зараз можемо вказати жорданову форму матриці:

.

Треба мати на увазі, що власному числу кратності (в даному випадку ), завжди відповідає клітинка Жордана порядку.

Знайдемо вектор, приєднаний до :

.

Система повинна бути сумісною.

Знайдемо її частковий розв'зок при .

.

Шукаємо власний вектор при .

;

.

Таким чином, жорданів базис – – матриця переходу.

Приклад 3.

Знаходимо власні числа:

Знайдемо власні вектори:

власний вектор

клітинка Жордана.

Тому можемо вказати жорданову форму матриці :

Власний вектор

Шукаємо ланцюжок приєднаних векторів: приєднаний до ; – до .

Система сумісна.

Частковий розв'язок системи знайдемо при

Жорданів базис – матриця переходу

Не зайвим буде зробити перевірку.

Приклад 4.

Знаходимо власні числа:

Шукаємо власні вектори:

;

власні вектори

клітинки Жордана.

Тому

Розв'язуємо систему:

– власні вектори.

Якщо записати неоднорідні системи для пошуку приєднаного вектора і то можна пересвідчитися, що вони є несумісними. Але це не означає, що приєднаного вектора не існує. Він обов'язково повинен знайтися до лінійної комбінації власних векторів і :

Тоді система для пошуку приєднаного вектора:

Нам лишається знайти, при яких значеннях і ця система є сумісною.

Ранг розширеної матриці повинен дорівнювати .

Ці умови виконуються при Тобто до вектора приєднується вектор . Знайдемо його:

Нехай

Жорданів базис складають вектори чи .

Звертаємо увагу на той факт, що розстановка клітинок в матриці повинна узгоджуватися з розстановкою базисних векторів. Так вигляд буде мати в базисі .