Координаты вектора.

Date: 2015-10-07; view: 451.

Размерность, базис абстрактного векторного пространства.

Определение 5. Векторы , , …, из векторного пространства Х называются линейно независимыми, если равенство

a₁ +a₂ +…+a_n = (6)

имеет место только когда все числа a₁=a₂=… a_n= 0. В противном случае, то есть когда равенство выполняется при существовании чисел из a₁, a₂, …, a_n не равных одновременно нулю, векторы , , …, называются линейно зависимыми.

Если векторы , , …, линейно зависимы, то один из векторов может быть представлен в виде линейной комбинации остальных векторов. Например, если в (6) a₂¹0, то

Определение 6. Пространство Х называется конечномерным, а число n – размерностью (рангом, числом измерений) этого пространства, если в Х существует n линейно независимых векторов, в то время как любые n+1 векторов из Х линейно зависимы. Если же в пространстве можно найти линейно независимую систему из любого числа векторов, то пространство называется бесконечномерным.

В этой главе мы будем иметь дело в основном с конечномерными пространствами Xⁿ. Размерность (« dimension ») обозначается dim X.

Определение 7. Система из n линейно независимых заданных в определенном порядке векторов , , …, в n – мерном пространстве Хⁿ называется базисомэтого пространства.

Пусть – произвольный вектор этого пространства. Тогда векторы , , , …, линейно зависимы (ибо число их равно n +1) и справедливо равенство a₀ +a₁ +a₂ +…+a_n = , где, по крайней мере, a₀¹0, так как векторы , , …, не могут быть связаны линейной зависимостью. Поэтому:

=х₁ +х₂ +…+x_n (7)

где числа х_i= , i=1, 2, …, n , однозначно определяются заданием вектора и базиса , , …, . В самом деле, если наряду с (7) имеется другое разложение вектора по базису:

=х₁¢ +х₂¢ +…+х_n¢ (7¢)

то вычитая почленно (7) из (7¢), получим (х₁¢–х₁) +(х₂¢–х₂) +…+(x_n¢–x_n) , откуда в силу линейной независимости векторов базиса следует х₁¢–х₁=х₂¢–х₂=…=x_n¢-x_n=0, то есть х₁¢=х₁, х₂¢=х₂, …, x_n¢=x_n.

Числа х₁, х₂, …, х_n в (7) называются координатами вектора в базисе , , …, , что кратко записывается так: (х₁, х₂, …, х_n) в базисе , , …, .

Слагаемыев (7) называют компонентами вектора .

Может возникнуть вопрос, нельзя ли, например, в трехмерном пространстве найти базис из меньшего числа векторов. Оказывается, что нет – для любого векторного пространства Xⁿ, имеющего базис из n элементов, и любой другой базис этого пространства состоит из n элементов(доказательство не приводим).

Пример 1. Докажем, что ортонормированные векторы , , …, арифметического пространства Aⁿ линейно независимы, а значит, в n – мерном пространстве образуют базис. Размерность пространства Aⁿ, а значит и Rⁿ, равна n.

Согласно определению равенства векторов, векторное равенство (6) в нашем случае имеет вид a₁ +a₂ +…+a_n = и эквивалентно в координатной форме следующей системе скалярных равенств: a₁= 0, a₂= 0, … a_n= 0, что доказывает линейную независимость векторов , , …, и наше утверждение, так как любой вектор = (х₁, х₂, …, х_n) пространства Aⁿ есть линейная комбинация векторов , , …, : .

Пример 2. Рассмотрим систему векторов = 3х+5, = 2х-1, порождающую пространство Р₁ = {a +b } = {a(3x+5)+b(2x–1)} = {(3a+2b)x+(5a–b)} = {ax+b}, где переменная хÎR, a = 3a+2b, b = 5a–b; a, bÎR.

Это линейное пространство многочленов не выше 1–ой степени. Любой элемент - многочлен вида р(х) = aх+b, элемент нуль = 0×х+0.

Покажем, что векторы , линейно независимы (геометрически – это графики двух пересекающихся прямых). Равенство (6) имеет вид: a₁ +a₂ = или a₁(3x+5)+a₂(2x–1) = 0×х+0, (3a+2b)x+(5a–b)} = 0×х+0, что эквивалентно системе

Отсюда b = 5a; подставляя в первое уравнение, имеем 3a+10a = 0, a = 0, а значит и b = 0.

Из определения пространства Р₁ очевидно, что любой вектор = aх+b есть линейная комбинация линейно независимых векторов и ,см. (7):

aх+b = x₁ +x₂ (8).

Значит, векторы , образуют базис пространства Р₁ и его размерность равна 2.

Расписывая равенство (8): (3х₁+2х₂)х+(5х₁–х₂)=aх+b ,получим систему уравнений которая имеет единственное решение: - координаты вектора в базисе , .

Конкретно, вектор = х+6 будет иметь координаты (1, -1), вектор = 3х+5 - координаты (1, 0) в базисе = 3х+5, = 2х–1.

Пример 3. Пусть независимые переменные х, у и коэффициенты С, А, В принимают числовые значения из R. Рассмотрим множество П₂ выражений вида С+Ах+Ву, обращающихся в нуль при х = 2, у = -1 (другими словами, являются решениями систем уравнений вида С+Ах+Ву=0 : П₂={С+Ах+Ву:C+2×A–1×B=0}.

Геометрически на плоскости z = 0 ( ХОУ )это есть пучок прямых, проходящих через точку (2, -1).

Множество П₂ - векторное пространство, так как умножая такие выражения на произвольные числа и складывая их (то есть образуя линейные комбинации), мы будем получать выражения такого же типа. Элемент нуль имеет вид = 0 + 0×х + 0×у.

Покажем, что выражения (элементы, вектора) =х–2, =у+1 образуют базис в пространстве П₂, а значит размерность его равна 2.

Согласно равенству (6) будем иметь: a₁ +a₂ = или подробно: a₁(х–2)+a₂(у+1)= 0+0×х+0×у, (a₂–2a₁)+a₁х+a₂у = 0+0×х+0×у. Приравнивая соответствующие коэффициенты, получим систему уравнений решение которой есть a₁= 0, a₂= 0, что доказывает линейную независимость векторов , . Покажем, что произвольный элемент = (х, у)ÎП₂ есть линейная комбинация векторов , : (х, у) = С+Ах+Ву = С+А(х–2+2)+В(у+1–1) = =С+А(х–2)+В(у+1)+2А–В = А(х–2)+ В(у+1)+С+2А–В =А +В . Значит, векторы , образуют базис пространства П₂ и справедливо разложение по базису произвольного вектора (см. (7)): (х, у) º С+Ах+Ву=А +В . В этом базисе вектор имеет координаты (А; В).

Например, выражение 3х+5у–1 имеет координаты (3; 5) и справедливо разложение по базису 3х+5у-1 = 3 +5 .

Однако заметим, например, что выражение 2х+3у–1 не принадлежит векторному пространству П₂.

Пример 4. (Аналогично примеру 1 показывает существование « хорошего » базиса).

Пусть значения переменной хÎR. Система из (n+1)–го элемента = 1, = х, = х², ..., = xⁿ порождает векторное пространство многочленов не выше n–ой степени

Р_n = {a₀ +a₁ +a₂ +…+a_n } ={a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ}, где произвольные числа a_iÎR, i=1, …, n. Нулевой элемент пространства P_n :

= 0+0×х+0×х²+…+0×хⁿ.

Элементы , , …, линейно независимы, так как равенство a₁ +a₂ + … + a_n+1 = или a₁+a₂x+a₃x²+ … +a_n+1xⁿ = 0+0×х+0×х²+ … +0×xⁿ справедливо только тогда, когда a₁=a₂=a₃= … =a_n+1 = 0.

Любой вектор (многочлен n–й степени) есть линейная комбинация линейно независимых векторов: (х) = a₀ + a₁x + a₂x₂ +…+ +a_nxⁿ=a₀ +a₁ +a₂ +…+a_n , значит, векторы , , …, образуют базис пространства Р_n, и вектор имеет координаты (a₀, a₁, a₂,…,a_n). Размерность пространства P_n равна n+1.

Пример 5. Покажем, что векторы = х²+2х–3, = х²–5х+4, = 3х²+5х–8 линейно зависимы и не могут образовать базис пространства Р₂ (см. пример 4), размерность которого 3.

Согласно (6) распишем равенство a₁ +a₂ +a₃ = .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим однородную систему уравнений, , которая, кроме нулевого решения a ₁= a₂ = a₃ = 0, имеет и другие, например решение (a₁; a₂; a₃)=(20; 1; -7), что доказывает наше утверждение.

Пример 6. Докажите, что векторы =(4; 1), =(-2; 3), образуют базис пространства А². Найдите координаты вектора =(-1; 5) в этом базисе.

Так как пространство А² размерности 2, то достаточно доказать линейную независимость векторов , . Распишем согласно (6) равенство a₁ +a₂ = . Имеем:a₁(4; 1)+a₂(-2; 3) = (0; 0) или Однородная система имеет единственное нулевое решение a₁ = 0, a₂ = 0 , так как определитель системы не равен нулю.

Это означает, что векторы , линейно независимы и образуют базис в А², то есть любой вектор можно однозначно представить (см.(7)) в виде: х₁ +х₂ = .

Расписывая равенство покоординатно, для определения координат х₁, х₂ получим систему: Отсюда получим: х₁=0,5, х₂=1,5; вектор имеет координаты = (0,5; 1,5) в базисе из векторов , .

Пример 7. Векторное пространство всех многочленов P_∞={р(х): р(х)=a₀+a₁х+a₂х²+… a_nxⁿ, a_iÎR, i=0, 1, … n; n – произвольное неотрицательное целое число} бесконечномерное, так как всегда можно найти линейно независимую систему, состоящую из любого числа элементов, например, 1, х, х², …, хⁿ, n - произвольное натуральное число (см. пример 4, где n – фиксировано), что и требовалось доказать.

Пример 8. По аналогии с пространством Аⁿ(п. 1) рассмотрим пространство А^∞ = {x : x= (a₁, a₂, … a_n, …), a_iÎR}, элементами которого являются всевозможные упорядоченные бесконечные наборы вещественных чисел a₁, a₂, … . Аналогичным образом определим операции над элементами. Пространство А^∞ уже будет бесконечномерным. Если предположить, что бесконечномерные пространства изоморфны пространству А^∞ (см. п. 6), то нетрудно понять, что между бесконечномерными и конечномерными пространствами есть много общего.