Линейные отображения (операторы).

Date: 2015-10-07; view: 475.

1.Основные понятия и определения.

Линейное пространство L(X, Y).

В геометрии исключительно важную роль играют преобразования: сдвиг, поворот, растяжение и другие (на плоскости или в трехмерном пространстве), обладающие тем свойством, что сумму векторов они переводят в сумму их образов, а произведение вектора на число a - в произведение образа вектора на a. Обычно их называют линейными отображениями, они играют ведущую роль среди всех отображений.

Определение. Пусть Х и Y – векторные пространства над числовым полем R. Поставим в соответствие каждому вектору ÎХ некоторый вектор у из пространства Y, который обозначим через А , говорят, что задано отображение (оператор) , отображающее Х в Y(обозначают: : Х→Y или = ). Если для любых , из Х и "aÎR выполняются равенства

(a ) = a ( ), (свойство однородности)

( + )= + , (свойство аддитивности)

то отображение называют линейным отображением (линейным оператором).

Можно объединить оба равенства в эквивалентное им одно:

(a +β ) = a +β , a, βÎR.

Линейные отображения : Х→Y, В : Х→Y мы назовем равными, если для любого ÎХ А =Вх.

Элементы вида образуют подпространство пространства Y, называемое пространством образов при отображении : Х→Y, и обозначают символом (Х) = { : ÎХ}, (Х) Ì Y.

Если (Х) = Y, то называется отображением Х на Y.

При линейном отображении нуль–элемент пространства Х обязательно переходит в – нуль–элемент пространства Y: = ( – ) = – = , но возможно, и другие элементы ≠ отображаются в нуль–элемент .

Поэтому, определим множество прообразов элемента , которое назовем ядром линейного отображения : Х→Y и обозначим:

Н ≡ ( ) = { ÎХ : = ÎY}, Н Ì Х.

Ядро Н также является (линейным) подпространством пространства Х (докажите самостоятельно).

Если линейное отображение не взаимно однозначно (Н ≠ { }), то при = всякий вектор , для которого = , имеет вид = + , где – некоторый вектор ядра Н. Множество векторов ={ = + : ÎH} называется многообразием (гиперплоскостью) параллельным подпространствуН (по-другому,сдвигом подпространстваН на вектор ); при = , = Н. При ≠ , не есть подпространство.

Размерность ядра Н называют дефектом отображения А и обозначают d( ) или : d( ) = dimH, ( d(A) ≤ dimX ).

Если ядро Н = { } (d(A)=0) состоит только из нуль-элемента , то отображение : Х → (Х) – взаимно однозначное отображение Х на пространство образов (Х). Существует обратное (тоже линейное) отображение : (Х) → Х или = , = ( = , " ÎХ ).

Если дополнительнопредположим, что (Х) = Y , то имеем линейное взаимно однозначное отображение пространства Х на пространство Y, то есть изоморфизм, который устанавливает изоморфное соответствие между пространствами Х и Y ( : Х↔Y) (см. п. 6). Естественно, в этом случае = , " ÎX, обратно, = , " ÎY и справедливы равенства: ( ) = , ( ) = или = , = , где , -тождественные (единичные) операторы: = , " ÎX , = , " ÎY.

Проиллюстрируем сказанное на рисунке:

а) Линейное отображение А из Х в Y.

б) Изоморфизм Х и Y.

Рисунок 2.

Образы n линейно независимых элементов пространства Х при линейном отображении в пространство Y в общем случае не будут линейно независимыми; но справедлива следующая

Теорема 1. Если в пространстве Y образы ( ), ( ), … , ( ) линейно независимы, то соответствующие r элементов , , … , пространства Х линейно независимы в Х.

Естественно, справедлива эквивалентная ей (обратная противоположной)

Теорема 2. Если , , … , линейно зависимы в Х, то их образы , , … , при отображении также линейно зависимы.

Действительно, пусть, например, вектор есть линейная комбинация остальных векторов: = a₂ , … , a₃ + … +a_r , a_iÎR, тогда в силу линейности отображения , имеем: = a₂ +a₃ +…+a_r , что означает линейную зависимость векторов–образов.

Следовательно, справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Если линейное отображение : Хⁿ→Y, то подпространство (Хⁿ) пространства Y имеет размерность, не большую n:

dim A(Xⁿ)≤n.

В случае : Х→Y^m подпространство (Х)ÌY имеет размерность не большую m: dim (X) ≤ m; в частности, при (Х) = Y^m размерность dim (X)=m.

Определение. Рангом отображения : Х→Y называют размерность пространства образов (Х) и обозначают r( ) : r( )=dim (X).

Очевидно, если линейное отображение : Xⁿ→Y^m , то справедливо неравенство: r( ) = dim (Xⁿ) ≤ min{m;n}, то есть ранг отображения А меньше или равен наименьшему из чисел m, n; отображает Хⁿ на некоторое r - мерное подпространство (Хⁿ) пространства Y^m ( r ≤ min{m, n}).

Без доказательства сформулируем следующую теорему.

Теорема 4. Если линейное отображение : Х→Y, то справедлива формула: r( )+d( ) = dimX (ранг +дефект = размерность Х).

В частности, при : Хⁿ→Y имеем r( )+d( ) = n.

Над линейными отображениями можно производить некоторые операции: их можно умножать на число l, можно складывать, в определенных случаях перемножать.

Сформулируем определения этих операций.

Если : Х→Y и lÎR, то l обозначает линейное отображение, при котором для любого ÎХ (l× ) = l .

Так как ÎY, то l× = (l× ) ÎY, значит, l : Х→Y. Покажем, что отображение l – линейное. Имеем для " , ÎХ, a, βÎR: l (a +β ) = ( (a +β )) = l (a +β ) = la +lβ =

= a(l ) +β(l ) , что доказывает сказанное.

Если : Х→Y, Х→Z, то + обозначает линейное отображение, при котором для " ÎХ

( +) = + .

Аналогично предыдущему легко убедиться, что +является линейным отображением и +: Х→Y.

Если : Х→Y, : Y→Z, то (произведение отображений, операторов или композиция) обозначает линейное отображение, при котором для " ÎХ ( ) =( ).

Покажем, что : Х→Y. Действительно, если ÎХ, то ÎY и, так как : Y→Z, то ( )=( ) ÎZ. Нетрудно показать, что является линейным отображением.

Очевидно, что умножение линейных отображений не коммутативно.

Можно показать, достаточно лишь проверить выполнение аксиом, что совокупность линейных отображений (операторов) : X→Y относительно определенных выше операций сложения и умножения на число сами образуют векторное (линейное) пространство, которое мы обозначим (X, Y) ≡ L(X, Y).

Нуль–элементом этого пространства является нулевой оператор θ, переводящий элементы пространства Х в нуль–элемент пространства Y.

Отметим, что если существуют произведения и , то существуют и произведения ( ) и ( ) , причем ( ) = ( ) (ассоциативность произведения).

2. Изоморфизм пространств : (Xⁿ, Y^m)↔L_Am´n.