Эквивалентные матрицы.

Date: 2015-10-07; view: 488.

Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц.

Здесь будет описано понятие ранга матрицы, на основе чего будет дан критерий разрешимости системы линейных уравнений.

Пусть ранг линейного отображения : Xⁿ→Y^m ( размерность подпространства образов (Xⁿ) ) равен r=r( ), т.е. существует максимально r линейно независимых векторов , , …, или другими словами имеется r линейно независимых строк матрицы отображения (см.(5)) , r≤n. В силу изоморфизма равенств = ↔ = А∙ существует r линейно независимых векторов = А∙ , = А∙ , …, = A∙ или, иначе, имеется r линейно независимых строк матрицы преобразования координат A_mхn ( r ≤ m), получающейся из матрицы отображения транспонированием ( заменой строк столбцами, = A_mхn ).

Поэтому, естественно принять по определению, что ранг матрицы A=A_mхn равен рангу соответствующего линейного отображения:

: Xⁿ→Y^m , r(A)=r( ).

Из вышеприведенных рассуждений следует второе, эквивалентное первому, определение ранга матрицы.