ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ

Date: 2015-10-07; view: 404.

БАЗИС

Базисом называется совокупность отличных от нулей линейно независимых векторов. Элементы базиса будем обозначать .

В предыдущем пункте мы видели, что два неколлинеарных вектора на плоскости линейно независимы. Поэтому согласно теореме 1, из предыдущего пункта, базисом на плоскости являются любые два неколлинеарных вектора на этой плоскости.

Аналогично в пространстве линейно независимы любые три некомпланарных вектора. Следовательно, базисом в пространстве назовём три некомпланарных вектора.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема. Пусть в пространстве задан базис . Тогда любой вектор можно представить в виде линейной комбинации , где x, y, z – некоторые числа. Такое разложение единственно.

Доказательство.

I. Докажем сначала существование такого представления.

1. Предположим, что коллинеарен какому-либо из векторов базиса, например, . Тогда по доказанному выше . Следовательно, , где x = l, y = z = 0.

2. Пусть компланарен с какой-либо парой базисных векторов, например, с и . Отложим три вектора от одной точки O. Через точку Aпроведём прямые, параллельные векторам и . Тогда , причём векторы и коллинеарны соответственно векторам и . Поэтому найдутся числа x и y такие, что , а значит .

3. Пусть некомпланарен ни с одной парой базисных векторов. Отложим от одной точки и проведём через конец вектора прямую, параллельную вектору . Она пересечёт плоскость в точке A₁. Очевидно, что . Но вектор компланарен векторам и , следовательно, по доказанному выше, , а вектор коллинеарен , поэтому . Таким образом, .

II. Докажем теперь единственность такого представления.

Допустим, что возможны два представления вектора и . Причём, например, . Тогда должны иметь , т.к. иначе мы имели бы две прямые, проходящие через точку A₁ параллельно . Из последнего равенства вытекает, что . Получили противоречие с нашим предположением, что и доказывает теорему.

В качестве частного случая из этой же теоремы можно сформировать следующее утверждение:

Если задан базис на плоскости, то любой вектор, компланарный с векторами можно представить в виде , причём такое разложение единственно.

Таким образом, базис позволяет однозначно сопоставить каждому вектору тройку чисел – коэффициенты разложения этого вектора по векторам базиса: . Верно и обратное, каждой тройке чисел x, y, z при помощи базиса можно сопоставить вектор, если составить линейную комбинацию .

Если базис и , то числа x, y, z называются координатами вектора в данном базисе. Координаты вектора обозначают .

Пусть в пространстве задана точка O и три некомпланарных вектора . Декартовой системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность точки и базиса, т.е. совокупность точки и трёх некомпланарных векторов (2-х неколлинеарных векторов), выходящих из этой точки. Точка O называется началом координат; прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат – осью абсцисс, ординат и аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называют координатными плоскостями. Рассмотрим в выбранной системе координат произвольную точку M. Введём понятие координаты точки M. Вектор , соединяющий начало координат с точкой M. называется радиус-вектором точки M. Вектору в выбранном базисе можно сопоставить тройку чисел – его координаты: . Координаты радиус-вектора точки M. называются координатами точки M. в рассматриваемой системе координат. M(x,y,z). Первая координата называется абсциссой, вторая – ординатой, третья – аппликатой. Аналогично определяются декартовы координаты на плоскости. Здесь точка имеет только две координаты – абсциссу и ординату. Легко видеть, что при заданной системе координат каждая точка имеет определённые координаты. С другой стороны, для каждой тройки чисел найдётся единственная точка, имеющая эти числа в качестве координат. Если векторы, взятые в качестве базиса, в выбранной системе координат, имеют единичную длину и попарно перпендикулярны, то система координат называется декартовой прямоугольной системой координат. В этом случае основные векторы принято обозначать буквами , а оси координат Ox, Oy и Oz. Таким образом, любой вектор в декартовой прямоугольной системе координат можно записать в виде: . Примеры. 1. Построить на плоскости в декартовой системе координат вектор . Вектор примем в качестве радиус-вектора точки М(-1;3). 2. Построить вектор . Вектор примем в качестве радиус-вектора точки N(2; -1; 3). В дальнейшем мы в основном будем использовать только декартову прямоугольную систему координат.