Свойства операции сложения матриц.

Date: 2015-10-07; view: 482.

Действия над матрицами.

Определение 1.2.1. Матрицы А и В одинаковой размерности называются равными, если а =b для всех и .

A =B óa =b , ; .

Определение 1.2.2. Суммой матриц А и B называется матрица С =А +В

элементы которой определяются как:

A óс =a +b , ; .

Знаки: - любой, - существует

1). A+B=B+A, " A,B. (Коммутативность)

2). (A+B)+C=A+(B+C), ",A,B,C, (ассоциативность)

3). A+0=A.

4). Для" А$ противоположная матрица:-A, A+(-A)=0.

Пример1.2.1.: Найти сумму матриц A+B:

A = ;B =

C =A +B = = .

Определение 1.2.3. Произведением матрицы А на число a называется матрица С=a А элементы которой определяются как:

С =a а .

a A =a a ; i=1,m; j=1,n.

Свойства операции умножения матрицы на число.

1). (a×b)×A=a(bA), "a,bи"A.

2). 1×A=A, "A

3). (-1) × A=-A, "A

4). (a+b)×A=a×A+b×A, "a,b, "A.

5). a× (A+B)=aA+aB для "A,B одинаковой размерности.

Пример 1.2.2.: Умножить матрицу на a = 7:

7 =

Определение 1.2.4. Произведением матрицы А на матрицу B называется матрица С , элементы которой определяются как:

C =A ×B ó(C )= a ×b , ; .

Для того чтобы найти элемент матрицы С, стоящий в i-ой строке и j-ом столбце нужно элемент i-ой строки матрицы А умножить на соответствующий элемент j-го столбца матрицы В и полученное произведение сложить.

i-ая строка А j-й столбец В

Отсюда следует, что произведение возможно если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Если матрицы одного и того же порядка то произведение всегда существует.

Пример 1.2.3. Выполнить умножение матриц: × = =

Свойства умножения матриц:

1). (A×B) × C=A× (B×C), (ассоциативность)

2). a× (A×B)=(a× A) × B=A× (a×B).

3). A× (B+C)=A×B+A×C, (дистрибутивность)

4). A×B¹B×A, умножение матриц не коммутативно.

Определение 1.2.5. Матрицы для которых А×В=В×А называются коммутирующими или перестановочными.

Пример 1.2.4. Проверить свойство 4.

A×B= × =

=>A×B¹B×A

B×A= × =