Определение 1.5.1.

Date: 2015-10-07; view: 461.

Минор. Теорема Лапласа.

Минором M_ij соответствующим элементу a_ij определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка получающийся из исходного вычеркиванием i-й строки и j-го столбца

Определение 1.5.2.

Минор взятый со знаком называется алгебраическим дополнением элемента aij исходного определителя:

A_ij=(-1)^(i+j)×M_ij

Определение 1.5.3.

Выберем произвольно k строк и k столбцов матрицы A_n*n ,тогда на пересечение этих строк и столбцов стоят элементы которые сами образуют квадратную матрицу порядка k. Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка и обозначается M_k.

Определение 1.5.4.

Дана матрица A_nxn и минор M ,вычеркнем те строки и столбцы в которых расположен заданный минор ,тогда оставшиеся элементы образуют квадратную матрицу (n-k)-го порядка. Определитель этой матрицы называется дополнительным минором к минору Mk и обозначается M^d

Определение 1.5.5.

Дополнительный минор снабженный знаком (-1)^s, где алгебраическим дополнением к заданному минору и обозначается

Пример 1.5.1. Дана матрица A:

Алгебраическим дополнением для элемента дополнительный к нему минор:

Теорема Лапласа 1.5.1.

Пусть дана матрица А_nxn и выбрано натуральное К; 1< К <n-1 выберем произвольно К строк (К столбцов). Тогда определительЅАЅ есть сумма произведений всевозможных миноров, расположенных в выбранных строках (столбцах), на свои алгебраические дополнения.

Выясним содержание теоремы на примерах :

Пусть к=2 выберем 1-ю и 3-ю строки

Из этих строк можно выделить миноры:

Дополнительными минорами являются элементы а₂₃ а₂₂ а₂₁

получим то же самое правило для вычисления определителя третьего порядка.

Пример 1.5.2.

Следствием из теоремы являются формулы разложения определителя по строке:

и по столбцу:

Пример 1.5.3.