Крамеровские системы

Date: 2015-10-07; view: 472.

Основные понятия

Задачи и упражнения для самостоятельной работы.

1. Найдите ранг и базисный минор следующей матрицы:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) .

2. Системы линейных алгебраических уравнений

Определение 2.1.1.

Системой m линейных алгебраических уравнений с n-неизвестными х₁ х₂ … х_n

называется система вида:

(2.1)

где a_ij – коэффициенты системы, b_i - свободные члены , , .

Первый индекс у коэффициентов указывает на номер уравнения, второй на номер неизвестного.

Определение 2.1.2.

Решением системы (1) называется совокупность

чисел (х₁⁰, х₂⁰ , … х_n⁰) подстановка которых в систему вместо неизвестных обращает все уравнения в тождества .

Определение 2.1.3.

Система у которой нет ни одного решения , называется не совместной . Совместной называется система , имеющая хотя бы одно решение. Совместная система , имеющая единственное решение называется определенной , в противном случае неопределенной .

Рассмотрим другие формы записи системы (2.1) ,для чего введем обозначения:

Матрицу А называют основной матрицей системы , матрицы b_mx1, x_nx1 принято называть вектором свободных членов и вектором неизвестных.

Легко убедиться , что умножение матрицы А на вектор Х по правилу умножения двух матриц дает левую часть системы (2.1.). Поэтому произведение А×X является столбцовой матрицей тех же размеров, что и матрица B. Поэтому систему записывают в форме матричного уравнения.

(2.1.)ЫА×X=b

Следующая запись связана с операцией сложения:

Если i-ый столбец обозначить через Аⁱ то то более кратко :

А¹х₁+ А²х₂+…+ Аⁿх_n= b

Отсюда видно ,что решить систему это значит разложить правую часть по столбцам.

Определение 2.1.4.

Две системы с одинаковым числом неизвестных называются эквивалентными , если множество решений одной системы совпадает с множеством решений другой системы.

Система (2.1) может иметь 0, 1 или Ґ много решений.

Определение 2.2.1.

Система линейных уравнений называется крамеровской , если основная матрица системы квадратная и невырожденная, т.е. А_nxn ,

Теорема 2.2.1.

Крамеровская система совместна и имеет единственное решение.

Доказательство:

А_nxn , , то для А$ А^-1 Используем запись А×X=в Ы А^-1×А×х=

А^-1×вЮI×X = А^-1×в Ю X = А^-1×в

Докажем единственность решения.

Пусть х и у два решения Ю Аx=в и Ау=вЮ Ах= АуЮ А^-1×А×х=

А^-1×А×уЮх=у

Доказывая теорему мы получили способ решения системы который называется матричным. Из него можно получить формулы Крамера

Поскольку :

Ю

(2.2)

Di - определитель, полученный из определителя матрицы A заменой i столбца столбцом свободных членов системы.

Di-можно получить используя разложения по i-му столбцу .

Формулы называются формулами Крамера, они используются для систем небольшого порядка .

Пример 2.2.1. Решим матричным способом систему:

Решение: Вычислим определитель основной матрицы системы

detA=10 0 Вычислим алгебраические дополнения всех элементов основной матрицы ,

и т.д.

где - любые действительные числа

Пример 2.2.2. Решить по формулам Крамера систему уравнений:

Решение: Вычислим определитель системы:

Найдем вспомогательные определители:

Ответ: {1;2;3}.