Решение систем линейных уравнений

Date: 2015-10-07; view: 548.

Вычисление ранга матрицы

Согласно теореме 3.1.4. при определении ранга матрицы можно пользоваться всеми элементарными преобразования . Идея метода та же самая – сведения матрицы к треугольному виду в случае квадратной матрицы и к трапециевидному виду для матриц А_mxn, m№n. Именно для матриц такого типа проще найти не равный нулю минор наивысшего порядка. Для треугольной матрицы ранг равен числу, не равному нулю, элементов диагонали .

Пример 3.3.1: Найти ранг матрицы A.

Решение: Приведем матрицу к трапецевидному виду:

При решении систем линейных уравнений разрешается пользоваться всеми элементарными преобразованиями над строками расширенной матрицы (А/в), а также преобразование третьего типа над столбцами матрицы А, поскольку умножение уравнения на число, прибавление к одному уравнению другого уравнения умноженного на число, перестановка уравнений и неизвестных со своими коэффициентами приводят к эквивалентной системе уравнений. Напомним, что расширенная матрица однозначно определяет систему .

Например, матрице A соответствует система:

Поэтому операции над строками соответствуют операциям над уравнениями. Целью элементарных преобразований является приведение расширенной матрицы к трапециевидной форме.

Запишем расширенную матрицу в виде:

последняя строка есть уравнение:

Подставляя это в предыдущее уравнение :

найдем

Подставляя в следующее уравнение x_n и x_n-1, находим x_n-2 и т.д. до x₁ .

Изложенный метод называется методом Гаусса или методом исключения неизвестных переменных. Отметим, что приведение расширенной матрицы к трапециевидной форме позволяет ответить на вопрос о совместимости системы.

Пример 3.4.1. Решить систему уравнений, заданную своей расширенной матрицей:

Решение: Запишем вторую строку матрицы первой так, чтобы в верхнем левом углу были 1 и затем приведем матрицу к треугольному виду.

Ответ: { -1;2;1}

Пример 3.4.2.

rang(A)=2=rang(A/b)

Выберем минор второго порядка отличный от нуля x₂ и x₃ – закрепленные переменные, тогда x₁ и x₄– свободные. x₁=C₁, x₄=C₂

Перейдем к системе:

бесконечное множество решений системы имеет вид:

Пример 3.4.3. Решить систему:

Решение:

Система не имеет решений.