Векторное пространство и его простейшие свойства.

Date: 2015-10-07; view: 368.

Векторное (линейное) пространство — это математическая структура, которая формируется набором элементов, называемых векторами, для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число — скаляр^[1]. Введённые операции подчинены восьми аксиомам.^[⇨] Скаляром же может являться элемент вещественного, комплексногоили любого другого поля чисел. Частным случаем векторов подобного пространства являются обычные евклидовы вектора, которые используются, к примеру, для демонстрациифизических сил. При этом следует отметить, что вектор как элемент векторного пространства не обязательно должен быть представлен в качестве направленного отрезка. Обобщение понятия «вектор» до элемента векторного пространства любой природы не только не вызывает смешения терминов, но и позволяет уяснить или даже предвидеть ряд результатов, справедливых для пространств произвольной природы^[2].

Векторные пространства являются предметом изучения линейной алгебры. Методология данного раздела математики позволила подробно изучить такого рода структуру через призму одной из главных её характеристик — размерности векторного пространства.^[⇨] Размерность представляет собой максимальное число линейно независимых элементов пространства, то есть, прибегая к геометрической частности, число направлений, невыразимых друг через друга посредством только операций сложения и умножения на скаляр. Векторное пространство можно наделить дополнительными структурами, например, нормой или скалярным произведением. Подобные пространства естественным образом появляются вматематическом анализе, преимущественно в виде бесконечномерных функциональных пространств, где в качестве векторов выступают функции. Некоторые проблемы анализа требуют выяснить, сходится ли последовательность векторов к данному вектору. Решение таких вопросов достигается при рассмотрении векторных пространств с дополнительной структурой, в большинстве случаев — подходящей топологией, что позволяет обратиться к проблемам близости и непрерывности. Такие топологические векторные пространства, в частности, банаховы и гильбертовы, допускают более глубокое изучение.

Кроме векторов, линейная алгебра изучает также тензоры более высокого ранга (скаляр считается тензором ранга 0, вектор — тензором ранга 1).

Первые труды, предвосхитившие открытие векторных пространств, относятся к XVII веку. Именно тогда своё развитие получили аналитическая геометрия, учения о матрицах, системах линейных уравнений, евклидовых векторах.