Линейная алгебра и геометрия

Date: 2015-10-07; view: 424.

1) Матрицей размера mxn -таблица состоящая из множества М. Элементы множества М называются элементами матрицы,обозначаются большими латинсими буквами. Матрицы равны если они одинаковых размеров. Матрицей строкой называют матрицу, состоящую из одной строки. Матрицей столбцом - из одного столбца. Матрица, у которой количество столбцов равно количеству строк, называется квадратной матрице n-ого порядка. Если элементы стоящие по одну сторону диагоналей =0, то мат. Треугольная. Если все недиагональные элементы матрицы равны нулю, то матрицу называют диагональной. Если у диагональной матрицы n-ого порядка на главной диагонали все элементы равны 1, то матрица называется единичной и обозначается Е. Матрица любого размера, все элементы которой равны 0, называется нулевой. мат.в каждой строке кот. как мин. На 1-н 0 больше чем в предыдущ.- степенчатая.

Операции на матрицами: 1)Умножение матрицы на число. Для того, чтобы умножить матрицу на число необходимо умножить на это число каждый элемент матрицы. 2)Сложение 2-х матриц: условие - складывать можно только матрицы одинакового размера. 3)Вычитание. 4)Умножение 2-х матриц: умножение А на В возможно тогда и только тогда, когда число столбцов А равно числу строк В; произведением матрицы А размера mk на матрицу В размера kn называется матрица С размера mn, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-ого столбца матрицы В. 5)Транспонирование. транспонирование-операция, в результате которой строчки и столбцы матрицы меняются местами.

Свойства слож.:1)коммутативное(А+В=В+А), 2)ассоциативное((А+В)+С=А+(В+С)), 3)дистрибутивное(R*(A+B)=RA+RB), 4)А+(-А)=0,

Свойства умн.:1)А*В не= В*А, 2)А*(В*С)=(А*В)*С, 3)Е*А=А

)Перестоновочные- если A*B=B*A. Элементарные действия: 1. Вычеркивания нулевой строки. 2. Умножение строки на отличное от нуля число. 3. Сложения строк. РАНГ-число не нулевых строк.

2) . Определителем матрицы 1-го порядка А=(а11) является единственный элемент этой матрицы. Определителем 2-го порядка называется число, характеризующее матрицу 2-го порядка, которое находится по следующему правилу: из произведений элементов главной диагонали вычитается произведение элементов второй диагонали матрицы А. Определителем матрицы 3-го порядка это число равное сумме произведений элементов любой строки (столбца) на алгебраические дополнения элементов этой строки ((-1)^ikA_ik).

Свойства:1)строки и столбцы опред-й равноправны; 2)если в опред-е строки и столбцы с одинаков-и номерами поменять местами, то величина опред-я не изменится (транспони-я мат.); 3)если в опред-е поменять местами 2-е любые строки(столбцы), то знак опрел-я меняется на противополож-й; 4) опред-ь имеющий 0-ю строку =0; 5) опред-ь имеющий 2-е равные строки=0; 6)опред-ь имеющий 2-е пропорциона-е строки =0(из любой строки можно выносить общий множ.);

7)к строке опред-я можно прибавлять другую строку *на число; 8) алгебр-я сумма произведений элементов 1-й строки и алгеб-е дополнение другой =0.

Если существует квадратная матрица X той же размерности, что и матрица A,

удовлетворяющая соотношениям A·X = X·A = I, то матрица A называется обратимой,

а матрица X называется обратной к матрице A и обозначается A⁻¹.

Всякая невырожденная матрица A имеет единственную обратную матрицу

Обратная мат. Обозначается А^-1. АА^-1=А^-1А=Е

Порядок операций при вычислении обратной матрицы:

Минор-это опред-ь порядка, полученный вычеркиванием строки(i) и столбца (j) заданного опред-м на пересечении, кот. он стоит.

Алгебраическим дополнением наз-ся минор взятый либо со знаком+ i+j-четная,- i+j-нечетная.

Условие существования обратной матрицы. Для того, чтобы квадратная матрица A имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной, т.е. detA ≠ 0 .

3) Совокупность уравнений

относительна неизвестных x₁, x₂, ..., x_n-1, x_n называется системой линейных алгебраических уравнений.

Числа a_ij — коэффициенты системы, b_i— правые части системы i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n.

Совокупность значений неизвестных, удовлетворяющая всем уравнениям системы, называется решением системы.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Система, у которой нет решений, называется несовместной.

Каждое решение совместной системы называется частным решением. Совокупность всех решений совместной системы называется общим решением.

Если среди правых частей b_i системы есть хоть одна, отличная от нуля, то система называется неоднородной системой линейных уравнений.

Если все правые части системы равны нулю, то система называется однородной.

Система линейных уравнений может быть записана в матричной форме A·x = b:

И перечисление методов.

4)Ненулевой вектор называется собственным вектором оператора A, если оператор A переводит в коллинеарный ему вектор, то есть . Число λ называется собственным значением или собственным числом оператора A, соответствующим собственному вектору

Фнр- фундаментальное решение(зад.8 из методички) сначала решаем гаусом….потом поочередно вместо свободных членов подставляем 1 и 0.

5) , вектор - это прямолинейный отрезок, имеющий направление,т.е. определены начало и конец,если их поменять,то получится противоположный вектор.

Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой. Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости.

Длиной или модулем вектора называется длина соответствующего направленного отрезка.

свойства:
1) (свойство коммутативности операции сложения);
2) (свойство ассоциативности операции сложения);;
3) (свойство ассоциативности по отношению к числам);
4) (свойство дистрибутивности по отношению к умножению на число);
5) (свойство дистрибутивности по отношению к умножению на вектор;

скалярное произведение-это число равное произведению длин векторов на косинус угла между ними.

Векторное произведение-это вектор перпендикулярный к 2-м векторам ,имеющий длину равную Sпарал., построенного на этих векторах и они образ-т правую тройку.

Смешанное произведение-это скалярно-векторное произведение.

6.Прямая и плоскость в пространстве: основные уравнения, взаимное расположение двух прямых. Формулы расстояния от точки до прямой, длины отрезка, координаты середины отрезка.

Определение 1. Вектор, перпендикулярный к плоскости, называется нормалью к этой плоскости. Укажем основные уравнения плоскости в пространстве. 1. Общее уравнение плоскости. Теорема. Всякое уравнение первой степени относительно координат точки про­странства является уравнением плоскости и, обратно, всякая плоскость может быть задана уравнением первой степени. Заметим, что вектор является нормалью к данной плоскости. 2. Уравнение плоскости, проходящей через точку , перпендику­лярно вектору и имеет вид: . 3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки , , , имеет вид: . Формула расстояния от точки до прямой: Формула расстояния длины отрезка: