Единичная матрица

Date: 2015-10-07; view: 429.

Диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны единице ( ), называется единичной матрицей и обозначается символом E.
Элементы единичной матрицы могут быть представлены с помощью дельта-символа Кронекера:

.

(1)

В матричной алгебре матрица E играет ту же роль, что число единица в системе вещественных чисел, а именно – при умножении на единичную матрицу (справа или слева) исходная матрица не изменяется:

.

(2)

Действительно, пусть – произвольная матрица размера m×n. Рассмотрим i,j-ый элемент матричного произведения AE, где E – единичная матрица n-го порядка.
Согласно определению матричного произведения и с учетом свойств дельта-символа,

(3)

для любых допустимых значений индексов i,j и, следовательно, AE = A.

Рассмотрим теперь i,j-ый элемент матричного произведения EA, где E – единичная матрица m-го порядка:

(4)

Попарное равенство матричных элементов для всех i,j влечет за собой равенство соответствующих матриц: EA = A.

Пример 1. Пусть - матрица второго порядка с произвольными элементами. Покажем непосредственным вычислением, что матрица вида играет в матричной алгебре роль единицы.

***

Пример 2. Пусть – произвольная 2×3 матрица. Проверить прямым вычислением, что матрица A не изменяется при умножении справа и слева на единичные матрицы соответствующих порядков. Решение Заметим, что в качестве единичной матрицы в произведении EA должна быть выбрана матрица второго порядка, тогда как в произведении AE под единичной матрицей следует понимать матрицу третьего порядка.

***

Пример 3. Пусть Убедиться прямым вычислением в справедливости свойства Решение

***

Пример 4. Даны матрицы Паули: где i – мнимая единица (i 2 = –1). Показать, что квадрат любой из матриц Паули есть единичная матрица. Решение

***

Пример 5. Пусть . Найти f (A), если Решение. При переходе к матричной функции f(A), переменную x следует заменить матрицей A, а числовое слагаемое 5 – матрицей 5E, где E – единичная матрица. Следовательно,