Свойства и применения обратной матрицы

Date: 2015-10-07; view: 426.

Обратная матрица

Пусть A – квадратная матрица. Тогда матрица называется обратной, если

(1)

где E – единичная матрица.

1. Пусть A и B – квадратные матрицы одного и того же порядка. Если существуют обратные матрицы и , то существует и обратная матрица для произведения AB, причем

.

(2)

Действительно,

(3)

1. Пусть A – числовая квадратная матрица n-го порядка, для которой существует обратная матрицы ; X – матрица размера n×m, элементами которой являются переменные x_{i j} (1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m); B – числовая матрица размера n×m.
   Тогда решение матричного уравнения

можно представить в виде

		(5)
Пример 1. Пусть A, B и C – квадратные матрицы одного и того же порядка. Если существуют обратные матрицы A –1, B –1 и C –1, то существует и обратная матрица для произведения ABC, причем (ABC)–1 = C –1 B –1 A –1. Действительно, Аналогично,

***

Пример 2. Пусть . Проверить прямым вычислением, что матрица является обратной матрицей. Решение Вычислим произведение A –1A : Такой же результат справедлив для произведения AA –1 :