Понятие определителя

Date: 2015-10-07; view: 392.

Пусть A = || a_{i j} || – произвольная квадратная матрица n-го порядка, и пусть {k₁, k ₂, k ₃,..., k_n}– некоторая перестановка упорядоченного множества S={1,2,3,...,n}первых n натуральных чисел.
Составим произведение a_1k1a_2k2...a_nkn, (1)

содержащее n элементов, в котором каждая строка и каждый столбец матрицы A представлены одним и только одним из своих элементов. Например, первый сомножитель в этом произведении является элементом первой строки и k₁-го столбца, второй сомножитель представляет вторую строку и k₂-ой столбец и так далее.
Согласно Теореме 2, существует n! различных перестановок {k₁, k ₂, k ₃,..., k_n}, каждой из которых соответствует произведение вида (1) и, следовательно, существует n! различных произведений такого типа.
Сопоставим каждому из полученных произведений знак плюс или минус – в зависимости от четности или нечетности перестановки {k₁, k ₂, k ₃,..., k_n}.
Чтобы формально описать такое сопоставление, введем число инверсий в перестановке {k₁, k ₂, k ₃,..., k_n}, которое обозначим символическим выражением P{k₁, k ₂, k ₃,..., k_n}.
Заметим, что

(2)

Алгебраическая сумма всех возможных произведений вида

(3)

называется определителем (или детерминантом) матрицы A:

(4)

Для записи определителя используется также обозначение в виде массива матричных элементов в вертикальных скобках:

(5)

Представляется уместным отметить некоторые важные обстоятельства, относящиеся к понятию определителя матрицы:

1. В формуле (4), выражающей собой определение det A, строки и столбцы матрицы A представлены равноправно. Лишь для удобства изложения первый элемент в произведении (3) выбирался из первой строки, второй элемент – из второй строки и так далее. В результате суммирования по всем возможным перестановкам индексов, нумерующих столбцы, выражение (4) включает в себя все произведения рассматриваемого типа, представленные в определенной последовательности.
   Формальное равноправие строк и столбцов в определении det A можно выразить следующим эквивалентным выражением:

.

(6)

1. Число четных перестановок {k₁, k ₂, k ₃,..., k_n}в сумме (4) совпадает с числом нечетных перестановок и равно n!/2.
2. Определитель является одной из важнейших характеристик матрицы. При этом наиболее существенным часто оказывается не его конкретное числовое значение, а сам факт его равенства нулю или отличия от нуля. Например, матрица A имеет обратную лишь в том случае, когда det A ¹ 0 (что будет доказано в одном из ближайших разделов).
3. Не следует путать определитель матрицы с самой матрицей: Матрица представляет собой массив чисел, тогда как определителем матрицы является одно единственное число.