Однородные системы линейных уравнений

Date: 2015-10-07; view: 450.

Однородная система линейных уравнений имеет вид

,

(1)

где A – матрица коэффициентов; X – матрица-столбец, составленная из неизвестных.

Очевидно, что любая однородная система имеет нулевое решение , которое называется тривиальным решением.

Теорема. Если и являются решениями однородной системы (1), то и их линейная комбинация

является решением этой системы.

Доказательство. По условию теоремы AХ₁=0 и AХ₂=0 .

Тогда для любых чисел С₁ и С₂ : С₁AХ₁=0 Þ AС₁Х₁=0 и С₂AХ₂=0 Þ AС₂Х₂=0. Складывая эти выражения, получаем A(С₁Х₁ +С₂Х₂)=AС₁Х₁ +AС₂Х₂=С₁AХ₁+ С₂AХ₂=0. Следовательно, линейная комбинация С₁Х₁ +С₂Х₂ решений однородной системы линейных уравнений также является решением этой системы.

Примеры:

1. Решить систему уравнений методом Гаусса. Решение. Выполним элементарные преобразования над строками матрицы коэффициентов, приведя ее к ступенчатому виду: Ранг матрицы равен 3, тогда как число неизвестных равно 4. Поэтому одну из неизвестных, например, следует рассматривать как свободный параметр. Далее нужно присвоить этому параметру произвольное значение и выразить базисные неизвестные , и через c. Преобразованная матрица соответствует следующей системе уравнений: Из последнего уравнения следует, что . Выразим остальные базисные переменные: Таким образом, общее решение системы найдено: Чтобы найти частное решение, нужно придать параметру c какое-нибудь числовое значение. Полагая c = 4, получаем Проверка: Подставим неизвестные в уравнения системы: Уравнения обратились в тождества.

***

2. Пусть . Найти общее решение однородной системы линейных уравнений AX = 0. Решение. Преобразуем коэффициентную матрицу к ступенчатому виду: Поскольку , а число неизвестных равно 4, то две неизвестные должны рассматриваться как базисные, а оставшиеся переменные как свободные параметры. Полагая и , получаем уклрлченную систему уравнений решение которой имеет вид , . Запишем общее решение и представим его в виде линейной комбинации частных решений: Если общее решение однородной системы представлено в виде линейной комбинации типа то говорят, что частные решения образуют фундаментальную систему решений. В рассматриваемом случае фундаментальную систему решений образуют частные решения и .

***

3. Предположим, что общее решение однородной системы уравнений имеет вид Очевидно, что и поэтому частные решения образуют фундаментальную систему решений.

***

4. Дана матрица . Решить однородную систему линейных уравнений AX = 0. Решение. Преобразуем коэффициентную матрицу к треугольному виду: Соответствующая система имеет только тривиальное решение .