Знаковизначення квадратичної форми. Критерій Сильвестра.

Date: 2015-10-07; view: 671.

Зведення кривої другого порядку до канонічного виду

Зведення квадратичної форми до канонічного виду ортогональним перетворенням

Перетворення матриці при лінійній заміні змінних

Приклад 1. Записати в координатному вигляді квадратичну форму з матрицею

Визначення. Скалярная функція векторного аргументу блаблабла, де А-симетрична матриця порядку , називається квадратичною формою, а матриця А-матрицею квадратичної форми.

Вираз (*) є координатної записом квадратичної форми.

Визначення. Квадратична форма називається додатньо визначеною, якщо для будь якого .

Квадратична форма називається невід'ємно визначеною, якщо для будь якого .

Квадратична форма називається від'ємно визначеною, якщо для будь якого .

Квадратична форма називається недодатньо визначеною, якщо для будь якого .

Очевидно, що якщо — від'ємно (не додатньо) визначена, то форма — додатньо (не від'ємно) визначена, тому ми будемо цікавитися умовами додатньої і невід'ємної визначеностей.

Квадратична форма яка володіє одним із перерахованих властивостей, називається знаковизначеною у іншому випадку —знаконевизначеною.

Приклади.

1. — додатньо визначена в , так як для всіх .

2. — невід'ємно визначена в , так як , причому, на будь якому векторі , для якого .

3. — не являється знаковизначеною, так при , а при .

Важливо вміти визначати "знак" форми. Не завжди це легко зробити по виду форми. Сформулюємо без доказів теореми: