Перпендикуляр з точки в простір

Date: 2015-10-07; view: 1257.

ФАЙЛ МАТЕРІАЛІВ

Задача про найкраще приближення

Якщо вектор лг Я ортогонален векторах уру2 , ... , у / ( , то очевидно , він ортогонален будь-якому вектору з лінійної оболонки Цу1 , у2 , ... , ук ) . Взагалі , якщо Я , - підпростір евклидова простору / 7 , а вектор хей ортогонален будь-якому вектору з Я ? , То говорять , що вектор л - ортогонален подпространству / ? Г Сукупність усіх таких векторів х , які ортогональні подпространству Я , , самі утворюють підпростір йг . Його називають ортогональним доповненням до підпростору Я , .
Для того , щоб А'Є / 7 був ортогонален подпространству Я ( , достатньо, щоб тбил ортогонален кожному з векторів базису / ? Г
Зауважимо , що кожен вектор простору А'єЯможет бути розкладений на суму 2 -х векторів: У з підпростору Я ; і х " з його ортогонального доповнення / 7 , . Розмірність ж всього простору є пряма сума розмірностей підпростору і його ортогонального доповнення.
Розглянемо в просторі Янекоторое / л - мірне підпростір Я ; : нехай вектор / еЯне належить йг Поставимо задачу: знайти такий вектор / 0еЯ ? , Щоб вектор / ? = / -/0бил Ортогонален Я , . Вектор 1 = 0 називають ортогональною проекцією / , на Я , (див. малюнок , де в якості Я взято Я ' , а підпростір Я , - довільна площину ; вектор / не лежить на площині Яг ) . Покажемо спочатку, що , як і в елементарній геометрії , перпендикуляр / ? є найкоротша відстань від точки / до підпростору Я ; , тобто якщо взяти будь відмінний від / я вектор / , еЯя то

Дійсно, так як f є R, f1 є R1, то і вектор fa-f є R1, значить ортогональний вектору

h=f-fa;

За теоремою Піфагора:

Звідси

Вирахувати тепер по вектору f його ортогональну проекцію f0 на подпространство Я_г Пусть е ₁,е₂,....е_т базис /?,, тогда 1₀ можно искать в виде

Коефіцієнти с₍ знайдемо, використовуючи властивості ортогональності f- f₀=h к Я_г Для этого необходимо и достаточно, чтобы Ф,е)=0- (Ы„е) = 0, (( е) = (^,е) (1=1,2,...,т).

Подставляя вместо /_Оего выражение через векторы базиса, получим относительно с_/ 0= 1,2,..,,т) систему уравнений.

(I е) = с^(е_ге) + с₂(е₂,е)+... + с_т(е_т,е) 0=1,...,т) (*)

Если базис е₁,е₂,...,е_т - ортогональный и нормированный, то коэффициенты с получатся особенно просто

с=(Г,е) (/=1

Система уравнений (*) позволяет однозначно вычислить в этом случае коэффициенты с, а значит, однозначно найти проекцию вектора /на Я_г

Этот единственный вектор f₀ может быть вычислен и в том случае, если базис е₎,е₂,...,е_т - произвольный. Система уравнений (*) должна иметь единственное решение. Напомним, что это значит, определитель системы должен быть отличен от нуля:

Отже , щоб знайти ортогональну проекцію вектора Л1 на підпростір / ? , , Слід координати ^ обчислити , вирішивши систему рівнянь ( *). Якщо в Л1 обраний ортогональний нормований базис е , , тобто , , . , . , Єп , то координати / ^ обчислюються за формулою :

с, = ( 1 , е) 0 = 1,2 ,

Сформулюємо ще одну корисну теорему про визначнику Грама (доказ її опустимо ) .

Теорема . Позначимо визначник Грама векторів хг х " хт

( хих , ) ... { хт , х , )

З { х'х2 , ... , х " ) =

( х , , хга ) ... ( х "" хт )

Тоді виконуються нерівності

0 < О ( х1 , х2 , ... , хт ) < ( х " х , ) .. { хп , хт ) .

Причому знак рівності зліва досягається тільки коли вектора х , , ... , хт - лінійно залежні , а праворуч у разі попарной ортогональности векторів .

Розглянемо приклади перебування ортогональної проекції вектора на підпростір .

1 . Метод найменших квадратів .

Передбачається , що у є лінійна комбінація х} , х2 , ... , хт з невідомим коефіцієнтами с, . С2 , ... , с ",

у ^ з ^ + сгхг + ... + СТХТ .

Часто доводиться визначати с1 , ... , ст експериментально , для чого п раз вимірюються величини х ) , хг , ... , хт і у.

Позначимо результати к- го виміру х1к , х2к , ... , ХТК і ук

відповідно ( к = 1,2 , ... , п) , Тоді для визначення чисел з , , с2 ст

отримаємо систему

Зазвичай п>т. Так як виміри величин х_г, х_т, у зв'язані з похибками, то система (**), взагалі кажучи, несумісна, і можна говорити о її приближенному розв'язку. “Лучшим” вважається такий набір с_гс_г,...,с_т, при якому досягається мінімум квадратичного уклону

+- + £„^х„_л-у_кУ .

Застосуємо до цього завдання викладені вище результати. Розглянемо д-мірне евклидово простір і векторие

,(х_п,х,_г,...,х,^ е/х_2Гх₂₂,...,х_гп),е_т(х_гл„х_тг,...,х_тп).

Координаты вектора е_/ - це результат п-кратного виміру перемінної х. Вектори е_ге₂,...,е_т можна вважати лінійно незалежними; розглянемо також вектор

У=(У„У₂,-У_т)-

Систему рівнянь (**) в векторному виді можна записати

^{с,е,+сЛ+--+с_те_т=У-}

5 є квадратом довжини вектору-різниці

^с,^е, ^+с2^е2⁺- ^+С„,^е_т-У-

Якщо обозначити Я_! – підплощину лінійних комбінацій е₁,е₂,...,е_т, то задача зводиться до знахождення ортогональної проекції вектора уна /?,, тілько в цьому випадку 5 досягає мінімуму.

Як було показано, числа с₁,с_г,...,с_т треба знайти з системи рівнянь (*) (р=у)

(е_ие_])с, + (е₂,е₁)с₂+... + (е_т,е₁)с_т =у(у,е_})

(е_1:е₂)с, + (е₂,е₂)с₂ +... + (е_т,е₂)с_я = у(у\е₂)

……………………………………………

(е_1:е_m)с, + (е₂,е_m)с₂ +... + (е_m,е_m)с_m = у(у\е_m)

Де