Определение несобственного интеграла по неограниченному промежутку

Date: 2015-10-07; view: 481.

Пусть функция эф от икс определена на промежутке от а до плюс беск. и интегрируема на любом отрезке от а до А совместно от а до плюс беск..

Определение 1. Несобственным интегралом эф от икс dx от функции эф от икс по бесконечному промежутку от а до плюс беск. (несобственным интегралом 1го рода) называют предел при а стрем. к беск. Интеграл от а до А f(x) dx.

ò _а^b f(x)dx=F(x)÷ _а^b =F(b)-F(a)

23. исследовать на сходимость интеграл.

24.условие сходимости несобственных интегралов от неотрицат. Ф-ций.

Признак сравнения. Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы по любому отрезку [a,b] и при удовлетворяют неравенствам . Тогда:
если сходится интеграл , то сходится интеграл ;
если расходится интеграл , то расходится интеграл
(эти утверждения имеют простой смысл: если сходится интеграл от большей функции, то сходится интеграл от меньшей функции; если расходится интеграл от меньшей функции, то расходится интеграл от большей функции; в случаях, когда сходится интеграл от меньшей функции или расходится интеграл от большей функции, никаких выводов о сходимости второго интеграла сделать нельзя).
Док-во: если , , то функции и - монотонно возрастающие функции верхнего предела b (следствие свойств аддитивности и интегрирования неравенств). Монотонно возрастающая функция имеет конечный предел тогда и только тогда, когда она ограничена сверху. Пусть сходится. G(b)ограничена , F(b) ограничена, т.е. сходится. Пусть расходится F(b) неограничена G(b) неограничена, т.е. расходится.