Ускорение и его составляющие

Date: 2015-10-07; view: 560.

В случае неравномерного движения важно знать, как быстро изменяется скорость с течением времени. Физической величи­ной, характеризующей быстроту измене­ния скорости по модулю и направлению, является ускорение.

Рассмотрим плоское движение,т. е. такое, при котором все участки тра­ектории точки лежат в одной плоскости. Пусть вектор v задает скорость точки

А в момент времени t. За время Dt движу­щаяся точка перешла в положение В и приобрела скорость, отличную от v как по модулю, так и направлению и равную v₁=v + Dv. Перенесем вектор v₁ в точку А и найдем Dv (рис.4).

Средним ускорениемнеравномерного движения в интервале от t до t+Dt на­зывается векторная величина, равная от­ношению изменения скорости Dv к интер­валу времени Dt:

Мгновенным ускорением а(ускорени­ем) материальной точки в момент време­ни t будет предел среднего ускорения:

Таким образом, ускорение а есть вектор­ная величина, равная первой производной скорости по времени.

Разложим вектор Dv на две составля­ющие. Для этого из точки А (рис. 4) по направлению скорости v отложим вектор

AD, по модулю равный v₁. Очевидно, что вектор CD, равный Dv_t, определяет изме­нение скорости по модулю за время Dt: Dv_t=v₁- v. Вторая же составляющая вектора Dv-Dv_n характеризует изменение скорости за время Dt по направлению.

Тангенциальная составляющая уско­рения

т.е. равна первой производной по времени от модуля скорости, определяя тем самым быстроту изменения скорости по модулю. Найдем вторую составляющую ускоре­ния. Допустим, что точка В достаточно близка к точке А, поэтому As можно счи­тать дугой окружности некоторого радиу­са r, мало отличающейся от хорды АВ. Тогда из подобия треугольников АОВ и EAD следует Dv_n/AB = v₁/r, но так как AB = vDt, то

В пределе при Dt®0 получим v₁®v.

Поскольку v1®v, угол EAD стремится к нулю, а так как треугольник EAD равно­бедренный, то угол ADE между v и Dv_n стремится к прямому. Следовательно, при Dt®0 векторы Dv_n и v оказываются взаим­но перпендикулярными. Так как вектор скорости направлен по касательной к тра­ектории, то вектор Dv_n, перпендикулярный вектору скорости, направлен к центру ее кривизны. Вторая составляющая ускоре­ния, равная

называется нормальной составляющей ус­коренияи направлена по нормали к тра­ектории к центру ее кривизны (поэтому ее называют также центростремительным ускорением).

Полное ускорениетела есть геометри­ческая сумма тангенциальной и нормаль­ной составляющих (рис.5):

Итак, тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по модулю (направлена по касательной к траектории), а нормальная составляющая ускорения — быстроту из­менения скорости по направлению (на­правлена к центру кривизны траекто­рии).

В зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения дви­жение можно классифицировать следую­щим образом:

1) а_t=0, а_n = 0 — прямолинейное рав­номерное движение;

2) a_t=a=const, a_n=0 — прямолиней­ное равнопеременное движение. При та­ком виде движения

Если начальный момент времени t₁=0, а начальная скорость v₁=v₀, то, обозна­чив t₂ = t и v₂ = v, получим a = (v-v₀)/t, откуда

v =v₀+at.

Проинтегрировав эту формулу в пре­делах от нуля до произвольного момента времени t, найдем, что длина пути, прой­денного точкой, в случае равнопеременно­го движения

3) а_t=f(t), а_n=0 — прямолинейное движение с переменным ускорением;

4) а_t=0, а_n=const. При а_t=0 ско­рость по модулю не изменяется, а изменя­ется по направлению. Из формулы а_n= v²/r следует, что радиус кривизны до­лжен быть постоянным. Следовательно, движение по окружности является равно­мерным;

5) а_t=0, а_n¹0 — равномерное кри­волинейное движение;

6) a_t=const, a_n¹0—криволинейное равнопеременное движение;

7) a_t= f(t), a_n¹0 — криволинейное движение с переменным ускорением.

Угловая скорость и угловое ускорение

Рассмотрим твердое тело, которое враща­ется вокруг неподвижной оси. Тогда от­дельные точки этого тела будут описывать окружности разных радиусов, центры ко­торых лежат на оси вращения. Пусть не­которая точка движется по окружности радиуса R (рис.6). Ее положение через промежуток времени Dt зададим углом Dj. Элементарные (бесконечно малые) углы поворота рассматривают как векторы. Мо­дуль вектора dj равен углу поворота, а его направление совпадает с направле­нием поступательного движения острия винта, головка которого вращается в на­правлении движения точки по окружности, т. е. подчиняется правилу правого, винта(рис.6). Векторы, направления которых связываются с направлением вращения, называются псевдовекторамиили акси­альными векторами.Эти векторы не имеют определенных точек приложения: они мо­гут откладываться из любой точки оси вращения.

Угловой скоростьюназывается вектор­ная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:

Вектор «в направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, т. е. так же, как и вектор dj (рис. 7). Размерность угловой скорости dimw=T^{-1, a} . ее единица — радиан в секунду (рад/с).

Линейная скорость точки (см. рис. 6)

В векторном виде формулу для линейной скорости можно написать как вектор­ное произведение:

При этом модуль векторного произведе­ния, по определению, равен

, а направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от w к R.

Если w=const, то вращение равномер­ное и его можно характеризовать перио­дом вращенияТ — временем, за которое точка совершает один полный оборот, т. е. поворачивается на угол 2p. Так как промежутку времени Dt=T соответствует Dj=2p, то w= 2p/Т, откуда

Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности, в единицу времени называет­ся частотой вращения:

Угловым ускорениемназывается век­торная величина, равная первой производ­ной угловой скорости по времени:

При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой ско­рости. При ускоренном движении вектор

e сонаправлен вектору w (рис.8), при замедленном.— противонаправлен ему (рис. 9).

Тангенциальная составляющая ускорения

Нормальная составляющая ускорения

Таким образом, связь между линейны­ми (длина пути s, пройденного точкой по дуге окружности радиуса R, линейная ско­рость v, тангенциальное ускорение а_t, нор­мальное ускорение а_n) и угловыми величи­нами (угол поворота j, угловая скорость (о, угловое ускорение e) выражается сле­дующими формулами:

В случае равнопеременного движения точки по окружности (e=const)

где w₀ — начальная угловая скорость.

Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела