Работа и энергия

т. е. равна скалярному произведению век­тора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения этой силы; N — величина скалярная.

Единица мощности — ватт(Вт): 1 Вт — мощность, при которой за время 1 с совершается работа в 1 Дж (1 Вт = 1 Дж/с).

Кинетическая и потенциальная энергии

Кинетическая энергия механической системы — это энергия механического движения этой системы.

Сила F, действуя на покоящееся тело и вызывая его движение, совершает рабо­ту, а энергия движущегося тела возраста­ет на величину затраченной работы. Таким образом, работа dA силы F на пути, кото­рый тело прошло за время возрастания скорости от 0 до v, идет на увеличение кинетической энергии dT тела, т. е.

dA= dT.

Используя второй закон Ньютона F=mdv/dt

и умножая обе части равен­ства на перемещение dr, получим

Fdr =m(dv/dt)dr=dA

Таким образом, тело массой т, движущее­ся со скоростью v, обладает кинетической энергией

Т = тv²/2. (12.1)

Из формулы (12.1) видно, что кинети­ческая энергия зависит только от массы и скорости тела, т. е. кинетическая энергия системы есть функция состояния ее дви­жения.

При выводе формулы (12.1) предпола­галось, что движение рассматривается в инерциальной системе отсчета, так как иначе нельзя было бы использовать за­коны Ньютона. В разных инерциальных системах отсчета, движущихся друг отно­сительно друга, скорость тела, а следова­тельно, и его кинетическая энергия будут неодинаковы. Таким образом, кинетиче­ская энергия зависит от выбора системы отсчета.

Потенциальная энергия —механиче­ская энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характе­ром сил взаимодействия между ними.

Пусть взаимодействие тел осуществля­ется посредством силовых полей (напри­мер, поля упругих сил, поля гравитацион­ных сил), характеризующихся тем, что работа, совершаемая действующими сила­ми при перемещении тела из одного поло­жения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение прои­зошло, а зависит только от начального и конечного положений. Такие поля на­зываются потенциальными,а силы, дей­ствующие в них,— консервативными.Если же работа, совершаемая силой, зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую, то такая сила называется диссипативной;ее примером является си­ла трения.

Тело, находясь в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией II. Работа консервативных сил при элемен­тарном (бесконечно малом) изменении конфигурации системы равна приращению потенциальной энергии, взятому со знаком минус, так как работа совершается за счет убыли потенциальной энергии:

dA=-dП. (12.2)

Работа dА выражается как скалярное произведение силы F на перемещение drи выражение (12.2) можно записать в виде

Fdr=-dП. (12.3)

Следовательно, если известна функция П(r), то из формулы (12.3) можно найти силу F по модулю и направлению.

Потенциальная энергия может быть определена исходя из (12.3) как

где С — постоянная интегрирования, т. е. потенциальная энергия определяется с точностью до некоторой произвольной по­стоянной. Это, однако, не отражается на физических законах, так как в них входит или разность потенциальных энергий в двух положениях тела, или производная П по координатам. Поэтому потенциаль­ную энергию тела в каком-то определен­ном положении считают равной нулю (вы­бирают нулевой уровень отсчета), а энер­гию тела в других положениях отсчитыва­ют относительно нулевого уровня. Для консервативных сил

или в векторном виде

F=-gradП, (12.4) где

(i, j, k — единичные векторы координат­ных осей). Вектор, определяемый выраже­нием (12.5), называется градиентом ска­ляра П.

Для него наряду с обозначением grad П применяется также обозначение ÑП. Ñ («набла») означает символический вектор, называе­мый оператором Гамильтона или набла-оператором:

Конкретный вид функции П зависит от характера силового поля. Например, по­тенциальная энергия тела массой т, под­нятого на высоту h над поверхностью Зем­ли, равна

П = mgh, (12.7)

где высота h отсчитывается от нулевого уровня, для которого П₀ = 0. Выражение (12.7) вытекает непосредственно из того, что потенциальная энергия равна работе силы тяжести при падении тела с высоты h на поверхность Земли.

Так как начало отсчета выбирается произвольно, то потенциальная энергия может иметь отрицательное значение (ки­нетическая энергия всегда положитель­на!}. Если принять за нуль потенциальную энергию тела, лежащего на поверхности Земли, то потенциальная энергия тела, находящегося на дне шахты (глубина h'), П=-mgh'.

Найдем потенциальную энергию упругодеформированного тела (пружины). Сила упругости пропорциональна дефор­мации:

F_{х упр}= -kx,

где F_xупр — проекция силы упругости на ось х; k — коэффициент упругости(для пружины — жесткость),а знак минус ука­зывает, что F_{x упр} направлена в сторону, противоположную деформации х.

По третьему закону Ньютона, дефор­мирующая сила равна по модулю силе упругости и противоположно ей направле­на, т. е.

F_x=-F_{x упр}=kx Элементарная работа dA, совершаемая силой F_x при бесконечно малой деформации dx, равна

dA = F_x dx = kxdx,

а полная работа

идет на увеличение потенциальной энергии пружины. Таким образом, потенциальная энергия упругодеформированного тела

П=kx²/2.

Потенциальная энергия системы, подо­бно кинетической энергии, является функ­цией состояния системы. Она зависит толь­ко от конфигурации системы и ее положе­ния по отношению к внешним телам.

Полная механическая энергия систе­мы— энергия механического движения и взаимодействия:

Е = Е+П,

т. е. равна сумме кинетической и потен­циальной энергий.

Закон сохранения энергии

Закон сохранения энергии — результат обобщения многих экспериментальных данных. Идея этого закона принадлежит М. В. Ломоносову (1711 —1765), изложив­шему закон сохранения материи и движе­ния, а количественная формулировка за­кона сохранения энергии дана немецким врачом Ю. Майером (1814—1878) и не­мецким естествоиспытателем Г. Гельмгольцем (1821 — 1894).

Рассмотрим систему материальных то­чек массами m₁, m₂, ..., m_n, движущихся со скоростями v₁, v₂, ..., v_n. Пусть F'₁, F'₂, ..., F'_n — равнодействующие внутренних кон­сервативных сил, действующих на каждую из этих точек, a f₁, F₂, ..., F_n— равнодей­ствующие внешних сил, которые также будем считать консервативными. Кроме того, будем считать, что на материальные точки действуют еще и внешние некон­сервативные силы; равнодействующие этих сил, действующих на каждую из ма­териальных точек, обозначим f₁, f₂, ..., f_n. При v<<с массы материальных точек

постоянны и уравнения второго закона Ньютона для этих точек следующие:

Двигаясь под действием сил, точки системы за интервал времени dt соверша­ют перемещения, соответственно равные dr₁, dr₂, ..., dr_n. Умножим каждое из урав­нений скалярно на соответствующее перемещение и, учитывая, что dr_i = v_idt, получим:

Сложив эти уравнения, получим

Первый член левой части равенства (13.1)

где dT есть приращение кинетической энергии системы. Второй член

равен элементарной работе внутренних и внешних консервативных сил, взятой со знаком минус, т. е. равен элементарному приращению потенциальной энергии dП системы (см. (12.2)).

Правая часть равенства (13.1) задает работу внешних неконсервативных сил,

действующих на систему. Таким образом, имеем

d(T+П)=dA. (13.2)

При переходе системы из состояния 1 в ка­кое-либо состояние 2

т. е. изменение полной механической энер­гии системы при переходе из одного со­стояния в другое равно работе, совершен­ной при этом внешними неконсервативны­ми силами. Если внешние неконсерватив­ные силы отсутствуют, то из (13.2) следует, что

d(Т+П) = 0,

откуда

Т+П = E=const, (13.3)

т. е. полная механическая энергия системы сохраняется постоянной. Выражение (13.3) представляет собой закон сохране­ния механической энергии:в системе тел, между которыми действуют только кон­сервативные силы, полная механическая энергия сохраняется, т. е. не изменяется со временем.

Механические системы, на тела кото­рых действуют только консервативные си­лы (внутренние и внешние), называются консервативными системами.Закон сохра­нения механической энергии можно сфор­мулировать так: в консервативных систе­мах полная механическая энергия сохра­няется.

Закон сохранения механической энер­гии связан с однородностью времени, т. е. инвариантностью физических зако­нов относительно выбора начала отсчета времени. Например, при свободном паде­нии тела в поле сил тяжести его скорость и пройденный путь зависят лишь от на­чальной скорости и продолжительности свободного падения тела и не зависят от того, когда тело начало падать.

Существует еще один вид систем — диссипативные системы,в которых меха­ническая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеха-нические) формы энергии. Этот процесс получил название диссипации(или рассе­яния) энергии.Строго говоря, все системы в природе являются диссипативными.

В консервативных системах полная механическая энергия остается постоян­ной. Могут происходить лишь превраще­ния кинетической энергии в потенциаль­ную и обратно в эквивалентных количе­ствах, так что полная энергия остается неизменной. Поэтому, как указывает Ф. Энгельс, этот закон не есть просто за­кон количественного сохранения энергии, а закон сохранения и превращения энер­гии, выражающий и качественную сторо­ну взаимного превращения различных форм движения друг в друга. Закон со­хранения и превращения энергии — фун­даментальный закон природы, он справед­лив как для систем макроскопических тел, так и для систем микротел.

В системе, в которой действуют также неконсервативные силы, например силы трения, полная механическая энергия системы не сохраняется. Следовательно, в этих случаях закон сохранения механи­ческой энергии несправедлив. Однако при «исчезновении» механической энергии всегда возникает эквивалентное количест­во энергии другого вида. Таким образом, энергия никогда не исчезает и не появля­ется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой. В этом и заключает­ся физическая сущность закона сохране­ния и превращения энергии — сущность неуничтожимости материи и ее движения.

Удар абсолютно упругих и неупругих тел

Примером применения законов сохране­ния импульса и энергии при решении ре­альной физической задачи является удар абсолютно упругих и неупругих тел.

Удар (или соударение)— это столкно­вение двух или более тел, при котором взаимодействие длится очень короткое время. Исходя из данного определения, кроме явлений, которые можно отнести к ударам в прямом смысле этого слова(столкновения атомов или биллиардных шаров), сюда можно отнести и такие, как удар человека о землю при прыжке с трамвая и т. д. При ударе в телах воз­никают столь значительные внутренние силы, что внешними силами, действующи­ми на них, можно пренебречь. Это по­зволяет рассматривать соударяющиеся те­ла как замкнутую систему и применять к ней законы сохранения.

Тела во время удара претерпевают деформацию. Сущность удара заключает­ся в том, что кинетическая энергия относи­тельного движения соударяющихся тел на короткое время преобразуется в энергию упругой деформации. Во время удара име­ет место перераспределение энергии меж­ду соударяющимися телами. Наблюдения показывают, что относительная скорость тел после удара не достигает своего пре­жнего значения. Это объясняется тем, что нет идеально упругих тел и идеально глад­ких поверхностей. Отношение нормальных составляющих относительной скорости тел после и до удара называется коэффици­ентом восстановления e:

e = v'_n/v_n.

Если для сталкивающихся тел e=0, то такие тела называются абсолютно неупру­гими,если e=1—абсолютно упругими.

На практике для всех тел 0<e<1 (например, для стальных шаров e»0,56, для шаров из слоновой кости e»0,89, для свинца e»0). Однако в не­которых случаях тела можно с большой точностью рассматривать либо как абсо­лютно упругие, либо как абсолютно не­упругие.

Прямая, проходящая через точку со­прикосновения тел и нормальная к повер­хности их соприкосновения, называется линией удара.Удар называется централь­ным,если тела до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры масс. Мы будем рассматривать только центральные абсолютно упругие и абсо­лютно неупругие удары.

Абсолютно упругий удар —столкнове­ние двух тел, в результате которого в обо­их взаимодействующих телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова превращается в кинети­ческую энергию

.

Для абсолютно упругого удара вы­полняются закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.

Обозначим скорости шаров массами m₁ и m₂ до удара через v₁ и v₂, после удара — через v'₁ и v'₂ (рис. 18). При пря­мом центральном ударе векторы скоростей шаров до и после удара лежат на прямой линии, соединяющей их центры. Проекции векторов скорости на эту линию равны модулям скоростей. Их направления учтем знаками: положительное значение припи­шем движению вправо, отрицательное — движению влево.

При указанных допущениях законы сохранения имеют вид

Произведя соответствующие преобра­зования в выражениях (15.1) и (15.2), по­лучим

Решая уравнения (15.3) и (15.5), находим

Разберем несколько примеров.

Проанализируем выражения (15.8) и (15.9) для двух шаров различных масс:

а) m₁ =m₂. Если второй шар до удара висел неподвижно (v₂=0) (рис. 19), то после удара остановится первый шар (v'₁=0), а второй будет двигаться с той же скоростью и в том же направлении, в котором двигался первый шар до удара (v'₂ = v₁);

б) m₁>m₂.

Первый шар продолжает двигаться в том же направлении, как и до удара, но с меньшей скоростью (v'₁<v₁). Скорость второго шара после удара боль­ше, чем скорость первого после удара (v'₂>v'₁) (рис.20);

в) m₁<m₂. Направление движения первого шара при ударе изменяется — шар отскакивает обратно. Второй шар движется в ту же сторону, в которую двигался первый шар до удара, но с меньшей скоростью, т.е. v'₂<v₁ (рис. 21);

г) m₂>>m₁ (например, столкновение шара со стеной). Из уравнений (15.8) и (15.9) следует, что v'₁=-v₁, v'₂»2m₁v₁/m₂»0.

2) При m₁=m2 выражения (15.6) и (15.7) будут иметь вид

v'₁=v₂, v'₂=v₁,

т. е. шары равной массы «обмениваются» скоростями.

Абсолютно неупругий удар —столкно­вение двух тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое целое.

Продемонстрировать абсолют­но неупругий удар можно с помощью ша­ров из пластилина (глины), движущихся навстречу друг другу (рис. 22).

Если массы шаров m₁ и m₂, их скоро­сти до удара v₁ и v₂, то, используя закон сохранения импульса, можно записать

Если шары движутся навстречу друг другу, то они вместе будут продолжать двигаться в ту сторону, в которую двигал­ся шар, обладающий большим импульсом. В частном случае если массы шаров равны (m₁=m₂), то

v = (v₁+v₂)/2.

Выясним, как изменяется кинетиче­ская энергия шаров при центральном аб­солютно неупругом ударе. Так как в процессе соударения шаров между ними дей-ствуют силы, зависящие не от самих деформаций, а от их скоростей, то мы имеем дело с силами, подобными силам трения, поэтому закон сохранения механи­ческой энергии не должен соблюдаться. Вследствие деформации происходит «по­теря» кинетической энергии, перешедшей в тепловую или другие формы энергии. Эту «потерю» можно определить по раз­ности кинетической энергии тел до и после удара:

Если ударяемое тело было первона­чально неподвижно (v₂=0), то

Когда m₂>>m₁ (масса неподвижного тела очень большая), то v<<v₁ и почти вся кинетическая энергия тела при ударе пере­ходит в другие формы энергии. Поэтому, например, для получения значительной де­формации наковальня должна быть мас­сивнее молотка. Наоборот, при забивании гвоздей в стену масса молотка должна быть гораздо большей (m₁>>m₂), тогда v»v₁ и практически вся энергия затрачи­вается на возможно большее перемещение гвоздя, а не на остаточную деформацию стены.

Абсолютно неупругий удар — пример того, как происходит «потеря» механиче­ской энергии под действием диссипативных сил.

Механика твердого тела

§ 16. Момент инерции

При изучении вращения твердого тела пользуются понятием момента инерции. Моментом инерциисистемы (тела) отно­сительно оси вращения называется физи­ческая величина, равная сумме произведе­ний масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматри­ваемой оси:

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r в этом случае есть функция положения точки с коорди­натами х, у, z.

В качестве примера найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой Л и радиусом R относительно его геометрической оси (рис.23). Разобьем

цилиндр на отдельные полые концентриче­ские цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом r и внешним — r+dr. Момент инерции каждого полого цилиндра dJ = r²dm (так как dr<<r, то считаем, что расстояние всех точек ци­линдра от оси равно r), где dm — масса всего элементарного цилиндра; его объем 2prhdr. Если r — плотность материала, то dm=r•2prhdr и dJ = 2prr³dr. Тогда мо­мент инерции сплошного цилиндра

но так как pR'²h — объем цилиндра, то его масса m = pR²hr, а момент инерции

J = 1/2R².

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относи­тельно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера:момент инерции тела J относительно любой оси вращения равен моменту его инерции J_c относительно параллельной оси, про­ходящей через центр масс С тела, сло­женному с произведением массы m тела на квадрат расстояния а между осями: J = J_c + ma². (16.1)

Таблица 1

В заключение приведем значения мо­ментов инерции (табл. 1) для некоторых тел (тела считаются однородными, т — масса тела).

Кинетическая энергия вращения

Рассмотрим абсолютно твердое тело (см. § 1), вращающееся около неподвиж­ной оси z, проходящей через него (рис. 24). Мысленно разобьем это тело на маленькие объемы с элементарными мас­сами m₁, m₂, ..., m_n, находящиеся на рас­стоянии r₁, r₂, ..., r_n от оси вращения. При вращении твердого тела относительно не­подвижной оси отдельные его элементар­ные объемы массами m_i, опишут окружно­сти различных радиусов r_i и имеют раз­личные линейные скорости v_i. Но так как мы рассматриваем абсолютно твердое те­ло, то угловая скорость вращения этих объемов одинакова:

w = v₁/r₁ = v₂/r₂ = ... = v_n/r_n. (17.1)

Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энер­гий его элементарных объемов:

или

Используя выражение (17.1), получим

где J_z — момент инерции тела относитель­но оси 2. Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела

T_вр = J_zw²/2. (17.2)

Из сравнения формулы (17.2) с вы­ражением (12.1) для кинетической энер­гии тела, движущегося поступательно (T= mv²/2), следует, что момент инерции вращательного движения — мера инер­тности тела. Формула (17.2) справедлива для тела, вращающегося вокруг непод­вижной оси.

В случае плоского движения тела, на­пример цилиндра, скатывающегося с на­клонной плоскости без скольжения, энер­гия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вра­щения:

где m — масса катящегося тела; v_c — ско­рость центра масс тела; J _с — момент инерции тела относительно оси, проходя­щей через его центр масс; w — угловая скорость тела.

Момент силы. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Моментом силы F относительно неподвиж­ной точкиО называется физическая вели­чина, определяемая векторным произведе­нием радиуса-вектора г, проведенного из точки О в точку А приложения силы, на силу F (рис. 25):

M = [rF].

Здесь М — псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательно­го движения правого винта при его враще­нии от г к F.

Модуль момента силы

M = Frsina= Fl, (18.1)

где a — угол между г и F; rsina =l — кратчайшее расстояние между линией дей­ствия силы и точкой О — плечо силы.

Моментом силы относительно непод­вижной оси z называется скалярная вели­чина М_z, равная проекции на эту ось век­тор а М момента силы, определенного от­носительно произвольной точки О данной оси 2 (рис.26). Значение момента М_z не зависит от выбора положения точки О на оси z.

Если ось z совпадает с направлением вектора М, то момент силы представля-

ется в виде вектора, совпадающего с осью:

М_z = [rF]_z.

Найдем выражение для работы при вращении тела (рис.27). Пусть сила F приложена в точке В, находящейся от оси вращения на расстоянии r, a — угол между направлением силы и радиусом-вектором r. Так как тело абсолютно твер­дое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела. При повороте тела на бесконечно малый угол dj точка приложения В проходит путь ds= rdj, и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения:

dA=Fsinardj. (18.2) Учитывая (18.1), можем записать dA=M_zdj,

где Frsina = Fl =M_z — момент силы от­носительно оси z. Таким образом, работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол пово­рота.

Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии:

dA = dT, но

Учитывая, что w=dj/dt, получим

Уравнение (18.3) представляет собой уравнение динамики вращательного дви­жения твердого телаотносительно непод­вижной оси.

Можно показать, что если ось враще­ния совпадает с главной осью инерции (см. §20), проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство

где J — главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси).

Момент импульса и закон его сохранения

При сравнении законов вращательного и поступательного движений просматрива­ется аналогия между ними, только во вра­щательном движении вместо силы «вы­ступает» ее момент, роль массы играет момент инерции. Какая же величина будет аналогом импульса тела? Ею является момент импульса тела относительно оси.

Моментом импульса (количества дви­жения)материальной точки А относитель­но неподвижной точкиО называется физи­ческая величина, определяемая векторным произведением:

L= [rp| = [rmv],

где r — радиус-вектор, проведенный из точки О в точку A; p = mv — импульс ма­териальной точки (рис.28); L—псевдо­вектор, его направление совпадает с на­правлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к p. Модуль вектора момента импульса

L = rpsinalfa=mvrsinalfa=pl,

где a — угол между векторами r и p, l — плечо вектора р относительно точки О.

Моментом импульса относительно не­подвижной оси z называется скалярная величина L_z, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О дан­ной оси. Значение момента импульса L_z не зависит от положения точки О на оси z.

При вращении абсолютно твердого те­ла вокруг неподвижной оси z каждая от­дельная точка тела движется по окружно­сти постоянного радиуса r_i с некоторой

скоростью v_i. скорость v_i; и импульс m_iv_i

перпендикулярны этому радиусу, т. е. ра­диус является плечом вектора m_iv_i. Поэто­му можем записать, что момент импульса отдельной частицы

L_iz = т_iv_ir_i (19.1)

и направлен по оси в сторону, определяе­мую правилом правого винта.

Момент импульса твердого телаотно­сительно оси есть сумма моментов импуль­са отдельных частиц:

Используя формулу (17.1) v_i = wr_i, получим

т. е.

L_z = J_zw. (19.2)

Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси равен произведе­нию момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.

Продифференцируем уравнение (19.2) по времени:

т. е.

dL_z/dt= M_z

Это выражение — еще одна форма урав­нения (закона) динамики вращательного движения твердого телаотносительно неподвижной оси: производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси.

Можно показать, что имеет место век­торное равенство

dL/dt= М. (19.3)

В замкнутой системе момент внешних сил М=0 и dL/dt=0, откуда

L = const. (19.4)

Выражение (19.4) представляет собой закон сохранения момента импульса:мо­мент импульса замкнутой системы сохра­няется, т. е. не изменяется с течением времени.

Закон сохранения момента импуль­са — фундаментальный закон природы, Он связан со свойством симметрии про­странства — его изотропностью, т. е. с ин-

вариантностью физических законов отно­сительно выбора направления осей коор­динат системы отсчета (относительно поворота замкнутой системы в простран­стве на любой угол).

Продемонстрировать закон сохране­ния момента импульса можно с помощью скамьи Жуковского. Пусть человек, сидя­щий на скамье, которая без трения враща­ется вокруг вертикальной оси, и держа­щий в вытянутых руках гантели (рис. 29), приведен во вращение с угловой скоро­стью w₁. Если человек прижмет гантели к себе, то момент инерции системы умень­шится. Поскольку момент внешних сил равен нулю, момент импульса системы со­храняется и угловая скорость вращения w₂ возрастает. Аналогично, гимнаст во время прыжка через голову поджимает к тулови­щу руки и ноги, чтобы уменьшить свой момент инерции и увеличить тем самым угловую скорость вращения.

Сопоставим основные величины и уравнения, определяющие вращение те­ла вокруг неподвижной оси и его поступа­тельное движение (табл.2).

Свободные оси. Гироскоп

Для того чтобы сохранить положение оси вращения твердого тела с течением време­ни неизменным, используют подшипники, в которых она удерживается. Однако существуют такие оси вращения тел, кото­рые не изменяют своей ориентации в про­странстве без действия на нее внешних сил. Эти оси называются свободными ося­ми(или осями свободного вращения).Можно доказать, что в любом теле су­ществуют три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс тела, которые могут служить свободными осями (они называются главными осями инерциитела). Например, главные оси инерции однородного прямоугольного параллеле­пипеда проходят через центры противопо­ложных граней (рис. 30). Для однородно­го цилиндра одной из главных осей инер­ции является его геометрическая ось, а в качестве остальных осей могут быть две любые взаимно перпендикулярные оси, проведенные через центр масс в плоско­сти, перпендикулярной геометрической оси цилиндра. Главными осями инерции шара

являются любые три взаимно перпендику­лярные оси, проходящие через центр масс.

Для устойчивости вращения большое значение имеет, какая именно из свобод­ных осей служит осью вращения.

Можно показать, что вращение во­круг главных осей с наибольшим и наи­меньшим моментами инерции оказывается устойчивым, а вращение около оси со средним моментом — неустойчивым. Так, если подбросить тело, имеющее форму параллелепипеда, приведя его одновре­менно во вращение, то оно, падая, будет устойчиво вращаться вокруг осей 1 и 2 (рис. 30).

Если, например, палочку подвесить за один конец нити, а другой конец, закреп­ленный к шпинделю центробежной маши­ны, привести в быстрое вращение, то па­лочка будет вращаться в горизонтальной плоскости около вертикальной оси, пер­пендикулярной оси палочки и проходящей через ее середину (рис.31). Это и есть свободная ось вращения (момент инерции при этом положении палочки максималь­ный). Если теперь палочку, вращающуюся вокруг свободной оси, освободить от внеш­них связей (аккуратно снять верхний ко­нец нити с крючка шпинделя), то положе­ние оси вращения в пространстве в тече­ние некоторого времени сохраняется. Свойство свободных осей сохранять свое положение в пространстве широко при­меняется в технике. Наиболее интересны в этом плане гироскопы— массивные од­нородные тела, вращающиеся с большой угловой скоростью около своей оси сим­метрии, являющейся свободной осью.

Рассмотрим одну из разновидностей гироскопов — гироскоп на кардановом подвесе (рис.32). Дискообразное тело — гироскоп — закреплено на оси АА, кото­рая может вращаться вокруг перпендику­лярной ей горизонтальной оси ВВ, кото­рая, в свою очередь, может поворачивать­ся вокруг вертикальной оси DD. Все три оси пересекаются в одной точке С, являю­щейся центром масс гироскопа и остаю­щейся неподвижной, а ось гироскопа мо­жет принять любое направление в про­странстве. Силами трения в подшипниках всех трех осей и моментом импульса колец пренебрегаем.

Так как трение в подшипниках мало, то, пока гироскоп неподвижен, его оси можно придать любое направление. Если начать гироскоп быстро вращать (напри­мер, с помощью намотанной на ось вере­вочки) и поворачивать его подставку, то ось гироскопа сохраняет свое положение в пространстве неизменной. Это можно объяснить с помощью основного закона динамики вращательного движения. Для свободного вращающегося гироскопа сила тяжести не может изменить ориентацию его оси вращения, так как эта сила при­ложена к центру масс (центр вращения С совпадает с центром масс), а момент силы тяжести относительно закрепленного центра масс равен нулю. Моментом сил трения мы также пренебрегаем. Поэтому если момент внешних сил относительно его закрепленного центра масс равен нулю, то, как следует из уравнения (19.3), L =

= const, т. е. момент импульса гироскопа сохраняет свою величину и направление в пространстве. Следовательно, вместе с ним сохраняет свое положение в про­странстве и ось гироскопа.

Чтобы ось гироскопа изменила свое направление в пространстве, необходимо, согласно (19.3), отличие от нуля момента внешних сил. Если момент внешних сил, приложенных к вращающемуся гироскопу относительно его центра масс, отличен от нуля, то наблюдается явле­ние, получившее название гироскопичес­кого эффекта.Оно состоит в том, что под действием пары сил F, приложенной к оси вращающегося гироскопа, ось ги­роскопа (рис. 33) поворачивается вокруг прямой О₃О₃, а не вокруг прямой О₂О₂, как это казалось бы естественным на первый взгляд (O₁O₁ и О₂О₂ лежат в плоскости чертежа, а О₃О₃ и силы F перпендикуляр­ны ей).

Гироскопический эффект объясняется следующим образом. Момент М пары сил F направлен вдоль прямой О₂О₂. За время dt момент импульса L гироскопа получит приращение dL = Mdt (направление dLсовпадает с направлением М) и станет рав­ным L'=L+dL. Направление вектора L' совпадает с новым направлением оси вра­щения гироскопа. Таким образом, ось вра­щения гироскопа повернется вокруг пря­мой О₃О₃. Если время действия силы мало, то, хотя момент сил М и велик, изменение момента импульса dL гироскопа будет также весьма малым. Поэтому кратковременное действие сил практически не при­водит к изменению ориентации оси враще­ния гироскопа в пространстве. Для ее изменения следует прикладывать силы в течение длительного времени.

Если ось гироскопа закреплена под­шипниками, то вследствие гироскопиче­ского эффекта возникают так называемые гироскопические силы,действующие на опоры, в которых вращается ось гироско­па. Их действие необходимо учитывать при конструировании устройств, содержа­щих быстровращающиеся массивные со­ставные части. Гироскопические силы имеют смысл только во вращающейся си­стеме отсчета и являются частным случаем кориолисовой силы инерции (см. §27).

Гироскопы применяются в различных гироскопических навигационных приборах (гирокомпас, гирогоризонт и т. д.). Другое важное применение гироскопов — поддер­жание заданного направления движения транспортных средств, например судна (авторулевой) и самолета (автопилот) и т. д. При всяком отклонении от курса вследствие каких-то воздействий (волны, порыва ветра и т. д.) положение оси ги­роскопа в пространстве сохраняется. Сле­довательно, ось гироскопа вместе с рама­ми карданова подвеса поворачивается от­носительно движущегося устройства. По­ворот рам карданова подвеса с помощью определенных приспособлений включает рули управления, которые возвращают движение к заданному курсу.

Впервые гироскоп применен француз­ским физиком Ж. Фуко (1819—1868) для доказательства вращения Земли.

Деформации твердого тела

Рассматривая механику твердого тела, мы пользовались понятием абсолютно твердо­го тела. Однако в природе абсолютно твердых тел нет, так как все реальные тела под действием сил изменяют свою форму и размеры, т. е. деформируются.

Деформация называется упругой,если после прекращения действия внешних сил тело принимает первоначальные размеры и форму. Деформации,которые сохраня-

ются в теле после прекращения действия внешних сил, называются пластическими(или остаточными).Деформации реально­го тела всегда пластические, так как они после прекращения действия внешних сил никогда полностью не исчезают. Однако если остаточные деформации малы, то ими можно пренебречь и рассматривать уп­ругие деформации, что мы и будем де­лать.

В теории упругости доказывается, что все виды деформаций (растяжение или сжатие, сдвиг, изгиб, кручение) могут быть сведены к одновременно происходя­щим деформациям растяжения или сжа­тия и сдвига.

Рассмотрим однородный стержень длиной l и площадью поперечного сечения S (рис. 34), к концам которого приложены направленные вдоль его оси силы f₁ и F₂ (F₁=F₂=F), в результате чего длина стер­жня меняется на величину Dl. Естествен­но, что при растяжении Dl положительно, а при сжатии — отрицательно.

Сила, действующая на единицу пло­щади поперечного сечения, называется на­пряжением:

s=F/S. (21.1)

Если сила направлена по нормали к по­верхности, напряжениеназывается нор­мальным,если же по касательной к по­верхности — тангенциальным.

Количественной мерой, характеризую­щей степень деформации, испытываемой телом, является его относительная дефор­мация.Так, относительное изменение дли­ны стержня (продольная деформация)

e=Dl/l, (21.2) относительное поперечное растяжение

(сжатие)

e' = Dd/d, где d -— диаметр стержня.

Деформации e и e' всегда имеют раз­ные знаки (при растяжении Dl положи­тельно, a Ad отрицательно, при сжатии Dl отрицательно, a Ad положительно). Из опыта вытекает взаимосвязь e и e':

e'=-me,

где m — положительный коэффициент, за­висящий от свойств материала, называе­мый коэффициентом Пуассона.

Английский физик Р. Гук (1635— 1703) экспериментально установил, что для малых деформаций относительное уд­линение e и напряжение s прямо про­порциональны друг другу:

s = Ee, (21.3)

где коэффициент пропорциональности Е называется модулем Юнга. Из вы­ражения (21.3) видно, что модуль Юнгаопределяется напряжением, вызывающим относительное удлинение, равное единице. Из формул (21.2), (21.3) и (21.1) вы­текает, что

где k — коэффициент упругости.Выраже­ние (21.4) также задает закон Гука, со­гласно которому удлинение стержня при упругой деформации пропорционально действующей на стержень силе.

Деформации твердых тел подчиняются закону Гука до известного предела. Связь между деформацией и напряжением пред­ставляется в виде диаграммы напряже­ний, которую мы качественно рассмотрим для металлического образца (рис. 35). Из рисунка видно, что линейная зависимость s (e), установленная Гуком, выполняется

лишь в очень узких пределах до так на­зываемого предела пропорциональности(s_п). При дальнейшем увеличении напря­жения деформация еще упругая (хотя за­висимость s (e) уже не линейна) и до пре­дела упругости(s_у) остаточные деформа­ции не возникают. За пределом упругости в теле возникают остаточные деформации и график, описывающий возвращение тела в первоначальное состояние после прекра­щения действия силы, изобразится не кри­вой ВО, а параллельной ей — CF. Напря­жение, при котором появляется заметная остаточная деформация (~=0,2 %), назы­вается пределом текучести(s_т) — точка С на кривой. В области CD деформация возрастает без увеличения напряжения, т. е. тело как бы «течет». Эта область называется областью текучести(или об­ластью пластических деформаций).Мате­риалы, для которых область текучести значительна, называются вязкими,для ко­торых же она практически отсутствует — хрупкими.При дальнейшем растяжении (за точку D) происходит разрушение тела. Максимальное напряжение, возникающее в теле до разрушения, называется преде­лом прочности(s_p).

Диаграмма напряжений для реальных твердых тел зависит от различных факто­ров. Одно и то же твердое тело может при кратковременном действии сил проявлять себя как хрупкое, а при длительных, но слабых силах является текучим.

Вычислим потенциальную энергию упругорастянутого (сжатого) стержня, кото­рая равна работе, совершаемой внешними силами при деформации:

где х — абсолютное удлинение стержня, изменяющееся в процессе деформации от 0 до Dl. Согласно закону Гука (21.4), F=kx=ESx/l. Поэтому

т. е. потенциальная энергия упругорастянутого стержня пропорциональна квадра­ту деформации (Dl)².

Деформацию сдвига проще всего осу­ществить, если взять брусок, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, и приложить к нему силу F_tau (рис.36), касательную к его поверхности (нижняя часть бруска закреплена неподвижно). Относительная деформация сдвига опре­деляется из формулы

tgg = Ds/h,

где Ds — абсолютный сдвиг параллельных слоев тела относительно друг друга; h — расстояние между слоями (для малых уг­лов tgg»g).

Тяготение. Элементы теории поля

§ 22. Законы Кеплера.

Закон всемирного тяготения

Еще в глубокой древности было замечено, что в отличие от звезд, которые неизменно сохраняют свое взаимное расположение в пространстве в течение столетий, плане­ты описывают среди звезд сложнейшие траектории. Для объяснения петлеобраз­ного движения планет древнегреческий ученый К. Птоломей (II в. н.э.), считая Землю расположенной в центре Вселен­ной, предположил, что каждая из планет движется по малому кругу (эпициклу), центр которого равномерно движется по большому кругу, в центре которого на­ходится Земля. Эта концепция получила название птоломеевой геоцентрической системы мираи при поддержке католиче­ской церкви господствовала почти полто­ры тысячи лет.

В начале XVI в. польским астрономом Н. Коперником (1473—1543) обоснована гелиоцентрическая система(см. § 5), сог­ласно которой движения небесных тел объясняются движением Земли (а также других планет) вокруг Солнца и суточным вращением Земли. Теория и наблюдения Коперника воспринимались как занима­тельная фантазия.

К началу XVII столетия большинство ученых убедилось, однако, в справедливо­сти гелиоцентрической системы мира. И. Кеплер (1571 — 1630), обработав и уточнив результаты многочисленных на­блюдений датского астронома Т. Браге (1546—1601), изложил законы движения планет:

1. Планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которого находится Солнце.

2. Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает одинако­вые площади.

3. Квадраты периодов обращения пла­нет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит.

Впоследствии И. Ньютон, изучая дви­жение небесных тел, на основании законов

Кеплера и основных законов динамики открыл всеобщий закон всемирного тя­готения:между любыми двумя материаль­ными точками действует сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению масс этих точек (m₁ и m₂) и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними (r²):

F=Gm₁m₂/r². (22.1)

Эта сила называется гравитационной (или силой всемирного тяготения).Силы тяго­тения всегда являются силами притяже­ния и направлены вдоль прямой, проходя­щей через взаимодействующие тела. Ко­эффициент пропорциональности G на­зывается гравитационной постоянной.

Закон всемирного тяготения установ­лен для тел, принимаемых за материальные точки, т. е. для таких тел, размеры кото­рых малы по сравнению с расстоянием между ними. Если же размеры взаимодей­ствующих тел сравнимы с расстоянием между ними, то эти тела надо разбить на точечные элементы, подсчитать по форму­ле (22.1) силы притяжения между всеми попарно взятыми элементами, а затем гео­метрически их сложить (проинтегриро­вать), что является довольно сложной ма­тематической задачей.

Впервые экспериментальное доказа­тельство закона всемирного тяготения для земных тел, а также числовое определение гравитационной постоянной G проведено английским физиком Г. Кавендишем (1731 —1810). Принципиальная схема опыта Кавендиша, применившего крутиль­ные весы,представлена на рис. 37. Легкое коромысло А с двумя одинаковыми шари-

ками массой m = 729 г подвешено на уп­ругой нити В. На коромысле С укреплены на той же высоте массивные шары массой М=158 кг. Поворачивая коромысло С во­круг вертикальной оси, можно изменять расстояние между шарами с массами m и M. Под действием пары сил, при­ложенных к шарам m со стороны шаров M, коромысло А поворачивается в гори­зонтальной плоскости, закручивая нить В до тех пор, пока момент сил упру­гости не уравновесит момента сил тяготе­ния. Зная упругие свойства нити, по изме­ренному углу поворота можно найти воз­никающие силы притяжения, а так как массы шаров известны, то и вычислить значение G.

Значение G, приводимое в табли­цах фундаментальных физических пос­тоянных, принимается равным 6,6720•10^-11Н•м²/кг², т.е. два точечных тела массой по 1 кг каждое, находящиеся на расстоянии 1 м друг от друга, при­тягиваются с силой 6,6720-10^-11Н. Очень малая величина G показывает, что сила гравитационного взаимодействия может быть значительной только в случае боль­ших масс.

§ 23. Сила тяжести и вес. Невесомость

На любое тело, расположенное вблизи Земли, действует сила тяготения F, под влиянием которой, согласно второму за­кону Ньютона, тело начнет двигаться с ускорением свободного падения g. Та­ким образом, в системе отсчета, связанной с Землей, на всякое тело массой m дей­ствует сила

P = mg,

называемая силой тяжести.

Согласно фундаментальному физиче­скому закону — обобщенному закону Га­лилея,все тела в одном и том же поле тяготения падают с одинаковым ускорени­ем. Следовательно, в данном месте Земли ускорение свободного падения одинаково для всех тел. Оно изменяется вблизи по­верхности Земли с широтой в пределах от

9,780 м/с² на экваторе до 9,832 м/с² на полюсах. Это обусловлено суточным вра­щением Земли вокруг своей оси, с одной стороны, и сплюснутостью Земли — с другой (экваториальный и полярный ра­диусы Земли равны соответственно 6378 и 6357 км). Так как различие значе­ний g невелико, ускорение свободного па­дения, которое используется при решении практических задач, принимается равным 9,81 м/с².

Если пренебречь суточным вращением Земли вокруг своей оси, то сила тяжести и сила гравитационного тяготения равны между собой:

P = mg=F=GmM/R²,

где M — масса Земли; R — расстояние между телом и центром Земли. Эта форму­ла дана для случая, когда тело находилось на поверхности Земли.

Пусть тело расположено на высоте h от поверхности Земли, r₀ — радиус Зем­ли, тогда

P=GmM/(R₀ + h)²,

т. е. сила тяжести с удалением от поверхности Земли уменьшается.

В физике применяется также понятие веса тела. Весомтела называют силу, с которой тело вследствие тяготения к Земле действует на опору (или подвес), удерживающую тело от свободного паде­ния. Вес тела проявляется только в том случае, если тело движется с ускорением, отличным от g, т. е. когда на тело кроме силы тяжести действуют другие силы. Со­стояние тела, при котором оно движется только под действием силы тяжести, на­зывается состоянием невесомости.

Таким образом, сила тяжести действу­ет всегда, а вес появляется только в том случае, когда на тело кроме силы тяжести действуют еще другие силы, вследствие чего тело движется с ускорением а, отлич­ным от g. Если тело движется в поле тяготения Земли с ускорением a¹g, то к этому телу приложена дополнительная сила N, удовлетворяющая условию

N + P = ma.

Тогда вес тела

Р'=-N =P-ma=mg-ma = m(g-a),

т. е. если тело покоится или движется прямолинейно и равномерно, то а=0 и P' = mg. Если тело свободно дви­жется в поле тяготения по любой траекто­рии и в любом направлении, то а=g и Р' = 0, т. е. тело будет невесомым. Например, невесомыми являются тела, на­ходящиеся в космических кораблях, сво­бодно движущихся в космосе.

Поле тяготения и его напряженность

Закон тяготения Ньютона определяет за­висимость силы тяготения от масс взаимо­действующих тел и расстояния между ни­ми, но не показывает, как осуществляется это взаимодействие. Тяготение принадле­жит к особой группе взаимодействий. Си­лы тяготения, например, не зависят от того, в какой среде взаимодействующие тела находятся. Тяготение существует и в вакууме.

Гравитационное взаимодействие меж­ду телами осуществляется с помощью по­ля тяготения,или гравитационного поля.Это поле порождается телами и является формой существования материи. Основное свойство поля тяготения заключается в том, что на всякое тело массой т, вне­сенное в это поле, действует сила тяготе­ния, т. е.

F = mg. (24.1)

Вектор g не зависит от m и называется напряженностью поля тяготения. Напря­женность поля тяготенияопределяется си­лой, действующей со стороны поля на материальную точку единичной массы, и совпадает по направлению с действую­щей силой. Напряженность есть силовая характеристика поля тяготения.

Поле тяготения называется однород­ным,если его напряженность во всех точ­ках одинакова, и центральным,если во всех точках поля векторы напряженности направлены вдоль прямых, которые пере­секаются в одной точке (А), неподвижной по отношению к какой-либо инерциальной системе отсчета (рис.38).

Для графического изображения сило­вого поля используются силовые линии (линии напряженности). Силовые линии выбираются так, что вектор напряженно­сти поля действует по касательной к сило­вой линии.

Работа в поле тяготения. Потенциал поля тяготения

Рассмотрим, чему равна работа, соверша­емая силами поля тяготения при переме­щении в нем материальной точки мас­сой т. Вычислим, например, какую надо затратить работу для удаления тела мас­сой т от Земли. На расстоя­нии R (рис. 39) на данное тело действует сила

F=GmM/R².

При перемещении этого тела на расстоя­ние dR затрачивается работа

Знак минус появляется потому, что сила и перемещение в данном случае противо­положны по направлению (рис.39).

Если тело перемещать с расстояния R₁

до R₂, то затрачивается работа

Из формулы (25.2) вытекает, что за­траченная работа в поле тяготения не зависит от траектории перемещения, а оп­ределяется лишь начальным и конечным положениями тела, т. е. силы тяготения действительно консервативны, а поле тя­готения является потенциальным (см. § 12).

Согласно формуле (12.2), работа, со­вершаемая консервативными силами, рав­на изменению потенциальной энергии системы, взятому со знаком минус, т. е.

А = -DП = -(П₂-П₁)= П₁-П₂.

Из формулы (25.2) получаем

П₁-П₂= - m(GM/R₁ - GM/R₂).

(25.3)

Так как в формулы входит только раз­ность потенциальных энергий в двух со­стояниях, то для удобства принимают по­тенциальную энергию при R₂®¥ равной нулю ( lim П₂=0 _{при R2®¥}). Тогда (25.3) запишется в виде П₁= - GmM/R₁. Так как пер­вая точка была выбрана произвольно, то

П=-GmM/R.

Величину

j = П/m,

являющуюся энергетической характери­стикой поля тяготения, называют потенци­алом. Потенциал поля тяготения j —ска­лярная величина, определяемая потенци­альной энергией тела единичной массы в данной точке поля или работой по пере­мещению единичной массы, из данной точ­ки поля в бесконечность. Таким образом, потенциал поля тяготения, создаваемого телом массой M, равен

j=-GM/R, (25.4)

где R — расстояние от этого тела до рас­сматриваемой точки.

Из формулы (25.4) вытекает, что гео­метрическое место точек с одинаковым потенциалом образует сферическую повер­хность (R = const). Такие поверхности, для которых потенциал постоянен, назы­ваются эквипотенциальными.

Рассмотрим взаимосвязь между потен­циалом поля тяготения (j) и его напря­женностью (g). Из выражений (25.1) и (25.4) следует, что элементарная работа dA, совершаемая силами поля при малом перемещении тела массой т, равна

dA=-тdj.

С другой стороны, dA=Fdl (dl—эле­ментарное перемещение). Учитывая (24.1), получим, что

dA=mgdl,

т. е.

mgdl=-mdj,

или

g=-dj/dl.

Величина dj/dl характеризует изменение потенциала на единицу длины в направле­нии перемещения в поле тяготения. Можно показать, что

g=-.gradj, (25.5)

где gradj=(dj/дx)i+(дj/dy)j+(дj/dz)k—

градиент скаляра j (см. (12.5)). Знак минус в формуле (25.5) указывает, что вектор напряженности g направлен в сто­рону убывания потенциала.

В качестве частного примера, исходя из представлений теории тяготения, рас­смотрим потенциальную энергию тела, на­ходящегося на высоте h относительно Земли:

где R₀ — радиус Земли.

Так как

P=GmM/R²₀ и g=P/m=GM/R²₀,

(25.6) то, учитывая условие h<<R₀, получим

П=mGMh/R²₀= mgh.

Таким образом, мы вывели формулу, со­впадающую с (12.7), которая постулиро­валась раньше.

Космические скорости

Для запуска ракет в космическое про­странство надо в зависимости от постав­ленных целей сообщать им определенные начальные скорости, называемые космиче­скими.

Первой космической (или круговой) скоростьюv₁ называют такую минималь­ную скорость, которую надо сообщить те­лу, чтобы оно могло двигаться вокруг Зем­ли по круговой орбите, т. е. превратиться в искусственный спутник Земли. На спут­ник, движущийся по круговой орбите ра­диусом r, действует сила тяготения Зем­ли, сообщающая ему нормальное ускоре­ние v²₁/r. По второму закону Ньютона,

GmM/r²=mv²₁/r.

Если спутник движется недалеко от поверхности Земли, тогда r»R₀ (радиус Земли) и g=GM/R²₀(cм. (25.6)), поэтому у поверхности Земли

Первой космической скорости недоста­точно для того, чтобы тело могло выйти из сферы земного притяжения. Необходимая для этого скорость называется второй кос­мической. Второй космической (или пара­болической) скоростьюv₂ называют ту наименьшую скорость, которую надо со­общить телу, чтобы оно могло преодолеть притяжение Земли и превратиться в спут­ник Солнца, т. е. чтобы его орбита в поле тяготения Земли стала параболической. Для того чтобы тело (при отсутствии со­противления среды) могло преодолеть земное притяжение и уйти в космическое пространство, необходимо, чтобы его кине­тическая энергия была равна работе, совершаемой против сил тяготения:

Третьей космической скоростью v₃ на­зывают скорость, которую необходимо со­общить телу на Земле, чтобы оно покинуло пределы Солнечной системы, преодолев притяжение Солнца. Третья космическая скорость v₃=16,7 км/с. Сообщение телам таких больших начальных скоростей явля­ется сложной технической задачей. Ее первое теоретическое осуществление на­чато К. Э. Циолковским, им была выведе­на уже рассмотренная нами формула (10.3), позволяющая рассчитывать ско­рость ракет.

Впервые космические скорости были достигнуты в СССР: первая — при за­пуске первого искусственного спутника Земли в 1957 г., вторая — при запуске ра­кеты в 1959 г. После исторического полета Ю. А. Гагарина в 1961 г. начинается бур­ное развитие как советской, так и зару­бежной космонавтики.

Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции

Как уже отмечалось (см. § 5,6), законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчета. Системы отсче­та, движущиеся относительно инерциальной системы с ускорением, называются неинерциальными.В неинерциальных системах законы Ньютона, вообще говоря, уже несправедливы. Однако законы дина­мики можно применять и для них, если кроме сил, обусловленных воздействием тел друг на друга, ввести в рассмотрение силы особого рода — так называемые си­лы инерции.

Если учесть силы инерции, то второй закон Ньютона будет справедлив для лю­бой системы отсчета: произведение массы тела на ускорение в рассматриваемой системе отсчета равно сумме всех сил, действующих на данное тело (включая и силы инерции). Силы инерции F_ин при этом должны быть такими, чтобы вместе с силами F, обусловленными воздействием тел друг на друга, они сообщали телу ускорение а', каким оно обладает в неи­нерциальных системах отсчета, т. е.

mа' = F+F_ин. (27.1)

Так как F=ma (a — ускорение тела в инерциальной системе отсчета), то

ma' = ma+F_ин.

Силы инерции обусловлены ускорен­ным движением системы отсчета относи­тельно измеряемой системы, поэтому в об­щем случае нужно учитывать следующие случаи проявления этих сил: 1) силы инер­ции при ускоренном поступательном дви­жении системы отсчета; 2) силы инерции, действующие на тело, покоящееся во вра­щающейся системе отсчета; 3) силы инер­ции, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета.

Рассмотрим эти случаи.

1. Силы инерции при ускоренном поступа­тельном движении системы отсчета.Пусть на тележке к штативу на нити подвешен шарик массой т (рис. 40). Пока тележка покоится или движется равномерно и прямолинейно, нить, удерживающая шарик, занимает вертикальное положение и сила тяжести Р уравновешивается реакцией нити Т.

Если тележку привести в поступательное движение с ускорением а₀, то нить начнет откло­няться от вертикали назад до такого угла а, пока результирующая сила F=P+T не обеспе­чит ускорение шарика, равное а₀. Таким обра­зом, результирующая сила F направлена в сто­рону ускорения тележки а₀ и для установивше­гося движения шарика (шарик теперь движется вместе с тележкой с ускорением а₀) равна

F = mgtga=ma₀,

откуда угол отклонения нити от вертикали tga=a₀/g,

т. е. тем больше, чем больше ускорение тележки. Относительно системы отсчета, связанной с ускоренно движущейся тележкой, шарик по­коится, что возможно, если сила F уравновеши­вается равной и противоположно направленной ей силой F_и, которая является ничем иным, как силой инерции, так как на шарик никакие дру­гие силы не действуют. Таким образом,

F_и=-ma₀. (27.2)

Проявление сил инерции при поступатель­ном движении наблюдается в повседневных яв­лениях. Например, когда поезд набирает ско­рость, то пассажир, сидящий по ходу поезда, под действием силы инерции прижимается к спинке сиденья. Наоборот, при торможении поезда сила инерции направлена в противоположную сторо­ну и пассажир отделяется от спинки сиденья. Особенно эти силы заметны при внезапном тор­можении поезда. Силы инерции проявляются в перегрузках, которые возникают при запуске и торможении космических кораблей.

2. Силы инерции, действующие на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета.Пусть диск равномерно вращается с угловой скоростью w(w=const) вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. На диске, на разных расстояниях от оси вращения, установ­лены маятники (на нитях подвешены шарики массой m). При вращении маятников вместе с диском шарики отклоняются от вертикали на некоторый угол (рис.41).

В инерциальной системе отсчета, связан­ной, например, с помещением, где установлен диск, шарик равномерно вращается по окруж­ности радиусом R (расстояние от точки крепле­ния маятника к диску до оси вращения). Следо­вательно, на него действует сила, равная F = mw²R и направленная перпендикулярно оси вращения диска. Она является равнодействую­щей силы тяжести Р и силы натяжения нити Т: F=P+T,Когда движение шарика установит-

ся, то F=mgtgalfa=mw²R, откуда tgalfa=w²R/g,

т. е. углы отклонения нитей маятников будут тем больше, чем больше расстояние К от шари­ка до оси вращения диска и чем больше угловая скорость вращения w.

Относительно системы отсчета, связанной с вращающимся диском, шарик покоится, что возможно, если сила F уравновешивается рав­ной и противоположно направленной ей силой F_и, которая является ничем иным, как силой инерции, гак как на шарик никакие другие силы не действуют. Сила F_ц, называемая центробеж­ной силой инерции,направлена по горизонтали от оси вращения диска и равна

F_ц=-mw²R. (27.3)

Действию центробежных сил инерции под­вергаются, например, пассажиры в движущем­ся транспорте на поворотах, летчики при выпол­нении фигур высшего пилотажа; центробежные силы инерции используются во всех центробеж­ных механизмах: насосах, сепараторах и т. д., где они достигают огромных значений. При проектировании быстро вращающихся деталей машин (роторов, винтов самолетов и т. д.) при­нимаются специальные меры для уравновеши­вания центробежных сил инерции.

Из формулы (27.3) вытекает, что центро­бежная сила инерции, действующая на тела во вращающихся системах отсчета в направлении радиуса от оси вращения, зависит от угловой скорости вращения и системы отсчета и радиу­са R, но не зависит от скорости тел относитель­но вращающихся систем отсчета. Следователь­но, центробежная сила инерции действует во вращающихся системах отсчета на все тела, удаленные от оси вращения на конечное рассто­яние, независимо от того, покоятся ли они в этой системе (как мы предполагали до сих пор) или движутся относительно нее с какой-то скоростью.

3. Силы инерции, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета.Пусть шарик массой т движется с постоянной скоростью v' вдоль радиуса равномерно враща­ющегося диска (v' = const, w=const, v'┴w). Если диск не вращается, то шарик, направлен­ный вдоль радиуса, движется по радиальной прямой и попадает в точку А, если же диск привести во вращение в направлении, указан­ном стрелкой, то шарик катится по кривой 0В (рис. 42, а), причем его скорость v' относитель­но диска изменяет свое направление. Это воз­можно лишь тогда, если на шарик действует сила, перпендикулярная скорости v'.

Для того чтобы заставить шарик катиться по вращающемуся диску вдоль радиуса, исполь­зуем жестко укрепленный вдоль радиуса диска стержень, на котором шарик движется без тре­ния равномерно и прямолинейно со скоростью v' (рис. 42,б). При отклонении шарика стержень действует на него с некоторой силой F. Относи­тельно диска (вращающейся системы отсчета) шарик движется равномерно и прямолинейно, что можно объяснить тем, что сила F уравнове­шивается приложенной к шарику силой инер­ции F_K, перпендикулярной скорости v'. Эта си­ла называется кориолисовой силой инерции.

Можно показать, что сила Кориолиса

Вектор f_k перпендикулярен векторам скорости v' тела и угловой скорости вращения w системы отсчета в соответствии с правилом правого винта.

Сила Кориолиса действует только на тела, движущиеся относительно вращающейся систе­мы отсчета, например относительно Земли. Поэтому действием этих сил объясняется ряд на­блюдаемых на Земле явлений. Так, если тело движется в северном полушарии на север (рис. 43), то действующая на него сила Корио­лиса, как это следует из выражения (27.4), будет направлена вправо по отношению к на­правлению движения, т. е. тело несколько от­клонится на восток. Если тело движется на юг. то сила Кориолиса также действует вправо, если смотреть по направлению движения, т. е. тело отклонится на запад. Поэтому в север­ном полушарии наблюдается более сильное под­мывание правых берегов рек; правые рельсы железнодорожных путей по движению изнаши-

ваются быстрее, чем левые, и т. д. Аналогично можно показать, что в южном полушарии сила Кориолиса, действующая на движущиеся тела, будет направлена влево по отношению к на­правлению движения.

Благодаря силе Кориолиса падающие на поверхность Земли тела отклоняются к востоку (на широте 60° это отклонение должно состав­лять 1 см при падении с высоты 100 м). С си­лой Кориолиса связано поведение маятника Фу­ко, явившееся в свое время одним из доказа­тельств вращения Земли. Если бы этой силы не было, то плоскость колебаний качающегося вблизи поверхности Земли маятника оставалась бы неизменной (относительно Земли). Действие же сил Кориолиса приводит к вращению плоскости колебаний вокруг вертикального на­правления.

Раскрывая содержание F_ин в формуле

(27.1), получим основной закон динамики для неинерциальных систем отсчета:

mа'=F+F_и+F_ц+F_K, где силы инерции задаются формулами

(27.2) — (27.4).

Обратим еще раз внимание на то, что силы инерции вызываются не взаимодей­ствием тел, а ускоренным движением системы отсчета. Поэтому они не подчиня­ются третьему закону Ньютона, так как если на какое-либо тело действует сила инерции, то не существует противодей­ствующей силы, приложенной к данному телу. Два основных положения механики, согласно которым ускорение всегда вы­зывается силой, а сила всегда обусловле­на взаимодействием между телами, в системах отсчета, движущихся с ускоре­нием, одновременно не выполняются.

Для любого из тел, находящихся в не­инерциальной системе отсчета, силы инер­ции являются внешними; следовательно, здесь нет замкнутых систем. Это означает,

что в неинерциальных системах отсчета не выполняются законы сохранения импуль­са, энергии и момента импульса. Таким образом, силы инерции действуют только в неинерциальных системах. В инерциаль­ных системах отсчета таких сил не су­ществует.

Возникает вопрос о «реальности» или «фик­тивности» сил инерции. В ньютоновской механи­ке, согласно которой сила есть результат взаи­модействия тел, на силы инерции можно смот­реть как на «фиктивные», «исчезающие» в инерциальных системах отсчета. Однако воз­можна и другая их интерпретация. Так как взаимодействия тел осуществляются посредст­вом силовых полей, то силы инерции рассматри­ваются как воздействия, которым подвергаются тела со стороны каких-то реальных силовых полей, и тогда их можно считать «реальными». Независимо от того, рассматриваются ли силы инерции в качестве «фиктивных» или «реаль­ных», многие явления, о которых упоминалось в настоящем параграфе, объясняются с по­мощью сил инерции.

Силы инерции, действующие на тела в неи­нерциальной системе отсчета, пропорциональны их массам и при прочих равных условиях со­общают этим телам одинаковые ускорения. По­этому в «поле сил инерции» эти тела движутся совершенно одинаково, если только одинаковы начальные условия. Тем же свойством облада­ют тела, находящиеся под действием сил поля тяготения.

При некоторых условиях силы инерции и силы тяготения невозможно различить. Напри­мер, движение тел в равноускоренном лифте происходит точно так же, как и в неподвижном лифте, висящем в однородном поле тяжести. Никакой эксперимент, выполненный внутри лифта, не может отделить однородное поле тя­готения от однородного поля сил инерции.

Аналогия между силами тяготения и силами инерции лежит в основе принципа эквивалентности гравитационных сил и сил инерции (принципа эквивалентности Эйнштейна):все физические явления в по­ле тяготения происходят совершенно так же, как и в соответствующем поле сил инерции, если напряженности обоих полей в соответствующих точках пространства совпадают, а прочие начальные условия для рассматриваемых тел одинаковы. Этот принцип является основой общей теории относительности.

Элементы механики жидкостей

§ 28. Давление в жидкости и газе

Молекулы газа, совершая беспорядочное, хаотическое движение, не связаны или весьма слабо связаны силами взаимодей­ствия, поэтому они движутся свободно и в результате соударений стремятся раз­лететься во все стороны, заполняя весь предоставленный им объем, т. е. объем газа определяется объемом того сосуда, который газ занимает.

Как и газ, жидкость принимает форму того сосуда, в который она заключена. Но в жидкостях в отличие от газов среднее расстояние между молекулами остается практически постоянным, поэтому жид­кость обладает практически неизменным объемом.

Хотя свойства жидкостей и газов во многом отличаются, в ряде механических явлений их поведение определяется одина­ковыми параметрами и идентичными урав­нениями. Поэтому гидроаэромеханика —раздел механики, изучающий равновесие и движение жидкостей и газов, их взаимо­действие между собой и обтекаемыми ими твердыми телами,— использует единый подход к изучению жидкостей и газов.

В механике с большой степенью точно­сти жидкости и газы рассматриваются как сплошные,непрерывно распределенные в занятой ими части пространства. Плот­ность жидкости мало зависит от давления. Плотность же газов от давления зависит существенно. Из опыта известно, что сжи­маемостью жидкости и газа во многих за­дачах можно пренебречь и пользоваться единым понятием несжимаемой жидкости — жидкости, плотность которой всюду одинакова и не изменяется со временем.

Если в покоящуюся жидкость по­местить тонкую пластинку, то части жид­кости, находящиеся по разные стороны от нее, будут действовать на каждый ее эле­мент DS с силами DF, которые независимо от того, как пластинка ориентирована, будут равны по модулю и направлены перпендикулярно площадке DS, так как наличие касательных сил привело бы частицы жидкости в движение (рис. 44).

Физическая величина, определяемая нормальной силой, действующей со сторо­ны жидкости на единицу площади, назы­вается давлениемр жидкости:

p=DF/DS.

Единица давления—паскаль(Па): 1 Па равен давлению, создаваемому си­лой 1 Н, равномерно распределенной по нормальной к ней поверхности площадью 1 м² (1 Па=1 Н/м²).

Давление при равновесии жидкостей (газов) подчиняется закону Паскаля: давление в любом месте покоящейся жид­кости одинаково по всем направлениям, причем давление одинаково передается по всему объему, занятому покоящейся жид­костью.

Рассмотрим, как влияет вес жидкости на распределение давления внутри покоя­щейся несжимаемой жидкости. При рав­новесии жидкости давление по горизонта­ли всегда одинаково, иначе не было бы равновесия. Поэтому свободная повер­хность покоящейся жидкости всегда гори­зонтальна вдали от стенок сосуда. Если жидкость несжимаема, то ее плотность не зависит от давления. Тогда при попере­чном сечении S столба жидкости, его вы­соте h и плотности r вес P = rgSh, а дав­ление на нижнее основание

p =P/S=rgSh/S=rgh, (28.1)

т. е. давление изменяется линейно с высо­той. Давление rgh называется гидростати­ческим давлением.

Согласно формуле (28.1), сила давле­ния на нижние слои жидкости будет боль­ше, чем на верхние, поэтому на тело, по­груженное в жидкость, действует выталки­вающая сила, определяемая законом Архимеда:на тело, погруженное в жид­кость (газ), действует со стороны этой жидкости направленная вверх выталкива­ющая сила, равная весу вытесненной те­лом жидкости (газа):

F_А =rgV,

где r — плотность жидкости, V — объем погруженного в жидкость тела.

§ 29. Уравнение неразрывности

Движение жидкостей называется течени­ем,а совокупность частиц движущейся жидкости — потоком.Графически движе­ние жидкостей изображается с помощью линий тока,которые проводятся так, что касательные к ним совпадают по направ­лению с вектором скорости жидкости в со­ответствующих точках пространства (рис. 45). Линии тока проводятся так, чтобы густота их, характеризуемая отно­шением числа линий к площади перпенди­кулярной им площадки, через которую они проходят, была больше там, где больше скорость течения жидкости, и меньше там, где жидкость течет медленнее. Таким об­разом, по картине линий тока можно су­дить о направлении и модуле скорости в разных точках пространства, т. е. можно определить состояние движения жидкости. Линии тока в жидкости можно «проя­вить», например, подмешав в нее какие-либо заметные взвешенные частицы.

Часть жидкости, ограниченную линия­ми тока, называют трубкой тока.Течение жидкости называется установившимся (или стационарным),если форма и распо­ложение линий тока, а также значения скоростей в каждой ее точке со временем не изменяются.

Рассмотрим какую-либо трубку тока. Выберем два ее сечения S₁ и S₂, перпенди­кулярные направлению скорости (рис. 46).

За время Dt через сечение S проходит объем жидкости SvDt; следовательно, за 1 с через S₁ пройдет объем жидкости S₁v₁, где v₁ — скорость течения жидкости в месте сечения S₁. Через сечение S₂ за 1 с пройдет объем жидкости S₂v₂, где v₂ — скорость течения жидкости в месте сечения S₂. Здесь предполагается, что ско­рость жидкости в сечении постоянна. Ес­ли жидкость несжимаема (r=const), то через сечение S₂ пройдет такой же объем жидкости, как и через сечение S₁, т. е.

S₁v₁ = S₂v₂=const (29.1)

Следовательно, произведение скоро­сти течения несжимаемой жидкости на поперечное сечение трубки тока есть ве­личина постоянная для данной трубки то­ка. Соотношение (29.1) называется урав­нением неразрывностидля несжимаемой жидкости

Уравнение Бернулли и следствия из него

Выделим в стационарно текущей идеаль­ной жидкости (физическая абстракция, т. е. воображаемая жидкость, в которой от­сутствуют силы внутреннего трения) труб­ку тока, ограниченную сечениями S₁ и S₂, по которой слева направо течет жидкость (рис. 47). Пусть в месте сечения S₁ ско­рость течения v₁, давление р₁ и высота, на которой это сечение расположено, h₁. Ана­логично, в месте сечения S₂ скорость тече-

ния v₂, давление р₂ и высота сечения h₂. За малый промежуток времени Dt жид­кость перемещается от сечений S₁ и S₂ к сечениям S'₁ и S'₂.

Согласно закону сохранения энергии, изменение полной энергии E₂-Е₁ идеаль­ной несжимаемой жидкости должно быть равно работе А внешних сил по перемеще­нию массы от жидкости:

E₂-E₁=A, (30.1)

где E₁ и Е₂ — полные энергии жидкости массой m в местах сечений S₁ и S₂ соответ­ственно.

С другой стороны, А — это работа, совершаемая при перемещении всей жид­кости, заключенной между сечениями S₁ и S₂, за рассматриваемый малый проме­жуток времени Dt. Для перенесения массы т от S₁ до S'₁ жидкость должна переме­ститься на расстояние l1= v₁Dt и от S₂ до S'₂ — на расстояние l₂= v₂Dt. Отметим, что l₁ и l₂ настолько малы, что всем точкам объемов, закрашенных на рис. 47, припи­сывают постоянные значения скоро­сти v, давления р и высоты h. Следова­тельно,

A = F₁l₁+F₂l₂, (30.2)

где F₁=p₁S₁ и f₂=-р₂S₂ (отрицательна, так как направлена в сторону, противопо­ложную течению жидкости; рис.47).

Полные энергии Е₁ и e₂ будут склады­ваться из кинетической и потенциальной энергий массы m жидкости:

Подставляя (30.3) и (30.4) в (30.1) и приравнивая (30.1) и (30.2), получим

Согласно уравнению неразрывности для несжимаемой жидкости (29.1), объем, занимаемый жидкостью, остается посто­янным, т. е.

Разделив выражение (30.5) на DV, по­лучим

где r — плотность жидкости. Но так как сечения выбирались произвольно, то мо­жем записать

Выражение (30.6) выведено швейцарским физиком Д. Бернулли (1700—1782; опуб­ликовано в 1738 г.) и называется уравне­нием Бернулли.Как видно из его вывода, уравнение Бернулли — выражение закона сохранения энергии применительно к уста­новившемуся течению идеальной жидко­сти. Оно хорошо выполняется и для реаль­ных жидкостей, внутреннее трение кото­рых не очень велико.

Величина р в формуле (30.6) называ­ется статическим давлением(давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела), величина rv²/2 — динамическим давлением.Как уже указывалось выше (см. § 28), величина rgh представляет со­бой гидростатическое давление.

Для горизонтальной трубки тока (h₁=h₂) выражение (30.6) принимает вид

где р+rv²/2 называется полным давле­нием.

Из уравнения Бернулли (30.7) для горизонтальной трубки тока и уравнения неразрывности (29.1) следует, что при те-

чении жидкости по горизонтальной трубе, имеющей различные сечения, скорость жидкости больше в местах сужения, а ста­тическое давление больше в более широ­ких местах, т. е. там, где скорость меньше. Это можно продемонстрировать, устано­вив вдоль трубы ряд манометров(рис.48). В соответствии с уравнением Бернулли опыт показывает, что в мано­метрической трубке В, прикрепленной к узкой части трубы, уровень жидкости ниже, чем в манометрических трубках А и С, прикрепленных к широкой части трубы.

Так как динамическое давление связа­но со скоростью движения жидкости (га­за), то уравнение Бернулли позволяет из­мерять скорость потока жидкости. Для этого применяется трубка Пито — Прандтля (рис.49). Прибор состоит из двух изогнутых под прямым углом трубок, про­тивоположные концы которых присоедине­ны к манометру. С помощью одной из трубок измеряется полное давление (р₀), с помощью другой — статическое (р). Ма­нометром измеряется разность давлений:

p₀-p = r₀gh, (30.8)

где r — плотность жидкости в манометре. С другой стороны, согласно уравнению Бернулли, разность полного и статическо­го давлений равна динамическому давле­нию:

p₀-p=pv²/2. (30.9)

Из формул (30.8) и (30.9) получаем иско­мую скорость потока жидкости:

Уменьшение статического давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу работы водоструйного насоса(рис. 50). Струя воды подается в трубку, открытую в атмосферу, так что давление на выходе из трубки равно ат­мосферному. В трубке имеется сужение, по которому вода течет с большей скоро­стью. В этом месте давление меньше ат­мосферного. Это давление устанавливает­ся и в откачанном сосуде, который связан с трубкой через разрыв, имеющийся в ее узкой части. Воздух увлекается вытекаю­щей с большой скоростью водой из узкого конца. Таким образом можно откачивать воздух из сосуда до давления 100 мм рт. ст. (1 мм рт. ст. = 133,32 Па).

Уравнение Бернулли используется для нахождения скорости истечения жидкости через отверстие в стенке или дне сосуда. Рассмотрим цилиндрический сосуд с жид­костью, в боковой стенке которого на не­которой глубине ниже уровня жидкости имеется маленькое отверстие (рис.51).

Рассмотрим два сечения (на уровне h₁ свободной поверхности жидкости в сосуде и на уровне h₂ выхода ее из отверстия). Напишем для них уравнение Бернулли:

Так как давления р₁ и р₂ в жидкости на уровнях первого и второго сечений равны

атмосферному, т. е. p₁=p₂, то уравнение будет иметь вид

Из уравнения неразрывности (29.1) следу­ет, что v₂/v₁=S₁/S₂, где S₁ и S₂ — площа­ди поперечных сечений сосуда и отвер­стия. Если S₁>>S₂, то членом v²₁/2 можно пренебречь и

Это выражение получило название форму­лы Торричелли.

Вязкость (внутреннее трение). Ламинарный и турбулентный режимы течения жидкостей

Вязкость (внутреннее трение) —это свой­ство реальных жидкостей оказывать со­противление перемещению одной части жидкости относительно другой. При пере­мещении одних слоев реальной жидкости относительно других возникают силы внутреннего трения, направленные по ка­сательной к поверхности слоев. Действие этих сил проявляется в том, что со сторо­ны слоя, движущегося быстрее, на слой, движущийся медленнее, действует ускоря­ющая сила. Со стороны же слоя, движу­щегося медленнее, на слой, движущийся быстрее, действует тормозящая сила.

Сила внутреннего трения F тем боль­ше, чем больше рассматриваемая площадь поверхности слоя S (рис. 52), и зависит от того, насколько быстро меняется скорость течения жидкости при переходе от слоя к слою.

На рисунке представлены два слоя, отстоящие друг от друга на расстоя­нии Dх и движущиеся со скоростями v₁ и v₂ При этом v₁-v₂ = Dv. Направление, в котором отсчитывается расстояние между слоями, перпендикулярно скорости течения слоев. Величина Dv/Dx показывает, как быстро меняется скорость при перехо­де от слоя к слою в направлении х, пер­пендикулярном направлению движения слоев, и называется градиентом скорости.

Таким образом, модуль силы внутреннего трения

где коэффициент пропорциональности h, зависящий от природы жидкости, называ­ется динамической вязкостью (или просто вязкостью).

Единица вязкости — паскаль•секунда (Па•с):1 Па•с равен динамической вязко­сти среды, в которой при ламинарном те­чении и градиенте скорости с модулем, равным 1 м/с на 1 м, возникает сила внутреннего трения в 1 Н на 1 м² поверх­ности касания слоев (1 Па•с=1 Н•с/м²).

Чем больше вязкость, тем сильнее жидкость отличается от идеальной, тем большие силы внутреннего трения в ней возникают. Вязкость зависит от темпера­туры, причем характер этой зависимости для жидкостей и газов различен (для жидкостей т] с увеличением температуры уменьшается, у газов, наоборот, увеличи­вается), что указывает на различие в них механизмов внутреннего трения. Особенно сильно от температуры зависит вязкость масел. Например, вязкость касторового масла в интервале 18—40 °С падает в че­тыре раза. Советский физик П. Л. Капица (1894—1984; Нобелевская премия 1978г.) открыл, что при температуре 2,17 К жид­кий гелий переходит в сверхтекучее со­стояние, в котором его вязкость равна нулю.

Существует два режима течения жид­костей. Течение называется ламинарным (слоистым),если вдоль потока каждый выделенный тонкий слой скользит относи­тельно соседних, не перемешиваясь с ни­ми, и турбулентным (вихревым),если вдоль потока происходит интенсивное вихреобразование и перемешивание жидкости (газа).

Ламинарное течение жидкости наблю­дается при небольших скоростях ее дви­жения. Внешний слой жидкости, примыка­ющий к поверхности трубы, в которой она течет, из-за сил молекулярного сцепления прилипает к ней и остается неподвижным. Скорости последующих слоев тем больше, чем больше их расстояние до поверхности трубы, и наибольшей скоростью обладает слой, движущийся вдоль оси трубы.

При турбулентном течении частицы жидкости приобретают составляющие ско­ростей, перпендикулярные течению, поэто­му они могут переходить из одного слоя в другой. Скорость частиц жидкости быст­ро возрастает по мере удаления от по­верхности трубы, затем изменяется дово­льно незначительно. Так как частицы жид­кости переходят из одного слоя в другой, то их скорости в различных слоях мало отличаются. Из-за большого градиента

скоростей у поверхности трубы обычно происходит образование вихрей.

Профиль усредненной скорости при турбулентном течении в трубах ;(рис. 53) отличается от параболического профиля при ламинарном течении более быстрым возрастанием скорости у стенок трубы и меньшей кривизной в центральной части течения.

Английский ученый О. Рейнольдс (1842—1912) в 1883 г. установил, что ха­рактер течения зависит от безразмерной величины, называемой числом Рейнольдса:

где v = h/r — кинематическая вязкость;

r — плотность жидкости; (v)—средняя по сечению трубы скорость жидкости; d — характерный линейный размер, например диаметр трубы.

При малых значениях числа Рейнольдса (Re£1000) наблюдается ламинарное течение, переход от ламинарного течения к турбулентному происходит в области 1000£:Re£2000, а при Re = 2300 (для гладких труб) течение — турбулентное. Если число Рейнольдса одинаково, то ре­жим течения различных жидкостей (га­зов) в трубах разных сечений одинаков.

Методы определения вязкости

1. Метод Стокса.Этот метод определе­ния вязкости основан на измерении скоро­сти медленно движущихся в жидкости не­больших тел сферической формы.

На шарик, падающий в жидкости вер­тикально вниз, действуют три силы: сила тяжести P = ⁴/₃pr³rg (r — плотность ша­рика), сила Архимеда F_A = ⁴/₃pr³r'g (r' — плотность жидкости) и сила сопротивле­ния, эмпирически установленная Дж. Стоксом: F=6phrv, где r — радиус шарика, v — его скорость. При равномер­ном движении шарика

p = f_a + f,

или

⁴/₃pr³rg = ⁴/₃pг³r'g + бphrv, откуда

Измерив скорость равномерного движения шарика, можно определить вязкость жид­кости (газа).

2. Метод Пуазейля. Этот метод осно­ван на ламинарном течении жидкости в тонком капилляре. Рассмотрим капилляр радиусом R и длиной l. В жидкости мыс­ленно выделим цилиндрический слой ради­усом r и толщиной dr (рис. 54). Сила внут­реннего трения (см. (31.1)), действующая на боковую поверхность этого слоя,

где dS — боковая поверхность цилиндри­ческого слоя; знак минус означает, что при возрастании радиуса скорость уменьша­ется.

Для установившегося течения жидко­сти сила внутреннего трения, действую­щая на боковую поверхность цилиндра, уравновешивается силой давления, дей­ствующей на его основание:

После интегрирования, полагая, что у стенок имеет место прилипание жидкости, т. е. скорость на расстоянии R от оси равна нулю, получим

Отсюда видно, что скорости частиц жид­кости распределяются по параболиче­скому закону, причем вершина параболы лежит на оси трубы (см. также рис.53). За время t из трубы вытечет жидкость, объем которой

откуда вязкость

Движение тел в жидкостях и газах

Одной из важнейших задач аэро- и гидро­динамики является исследование движе­ния твердых тел в газе и жидкости, в частности изучение тех сил, с которыми среда действует на движущееся тело. Эта проблема приобрела особенно большое значение в связи с бурным развитием авиации и увеличением скорости движе­ния морских судов.

На тело, движущееся в жидкости или газе, действуют две силы (равнодействую-

щую их обозначим R), одна из которых (R_x) направлена в сторону, противопо­ложную движению тела (в сторону по­тока),— лобовое сопротивление,а вторая (R_y) перпендикулярна этому направле­нию— подъемная сила(рис.55).

Если тело симметрично и его ось сим­метрии совпадает с направлением скоро­сти, то на него действует только лобовое сопротивление, подъемная же сила в этом случае равна нулю. Можно доказать,

что в идеальной жидкости равномерное движение происходит без лобового сопро­тивления. Если рассмотреть движение ци­линдра в такой жидкости (рис. 56), то картина линий тока симметрична как от­носительно прямой, проходящей через точ­ки A и В, так и относительно прямой, проходящей через точки С и D, т. е. ре­зультирующая сила давления на повер­хность цилиндра будет равна нулю.

Иначе обстоит дело при движении тел в вязкой жидкости (особенно при увеличе­нии скорости обтекания). Вследствие вяз­кости среды в области, прилегающей к по­верхности тела, образуется пограничный слой частиц, движущихся с меньшими ско­ростями. В результате тормозящего дейст­вия этого слоя возникает вращение частиц и движение жидкости в пограничном слое становится вихревым. Если тело не имеет обтекаемой формы (нет плавно утончаю­щейся хвостовой части), то пограничный слой жидкости отрывается от поверхности тела. За телом возникает течение жидко­сти (газа), направленное противоположно набегающему потоку. Оторвавшийся пограничный слой, следуя за этим течением, образует вихри, вращающиеся в противо­положные стороны (рис. 57).

Лобовое сопротивление зависит от формы тела и его положения относительно потока, что учитывается безразмерным ко­эффициентом сопротивления С_х, определя­емым экспериментально:

где r — плотность среды; v — скорость движения тела; S — наибольшее попере­чное сечение тела.

Составляющую R_x можно значитель­но уменьшить, подобрав тело такой фор­мы, которая не способствует образованию завихрения.

Подъемная сила может быть определе­на формулой, аналогичной (33.1):

где С_у — безразмерный коэффициент подъемной силы.

Для крыла самолета требуется боль­шая подъемная сила при малом лобовом сопротивлении (это условие выполняется при малых углах атакиа (угол к потоку); см. рис. 55). Крыло тем лучше удовлетво­ряет этому условию, чем больше величина К=С_у/С_х, называемая качеством крыла.Большие заслуги в конструировании тре­буемого профиля крыла и изучении влия­ния геометрической формы тела на ко­эффициент подъемной силы принадлежат «отцу русской авиации» Н. Е. Жуковскому (1847—1921).

Элементы специальной (частной) теории относительности

§ 34. Преобразования Галилея. Механический принцип относительности

Если системы отсчета движутся относи­тельно друг друга равномерно и прямоли­нейно и в одной из них справедливы за­коны динамики Ньютона, то эти системы являются инерциальными. Установлено также, что во всех инерциальных си­стемах отсчета законы классической дина­мики имеют одинаковую форму; в этом суть механического принципа относитель­ности (принципа относительности Гали­лея).

Для его доказательства рассмотрим две системы отсчета: инерциальную систе­му К (с координатами х, у, z), которую условно будем считать неподвижной, и систему К' (с координатами х', у', z'), движущуюся относительно К равномерно и прямолинейно со скоростью u (u=const). Отсчет времени начнем с момен­та, когда начала координат обеих систем совпадают. Пусть в произвольный момент времени t расположение этих систем друг относительно друга имеет вид, изображен­ный на рис. 58. Скорость и направлена вдоль ОО', радиус-вектор, проведенный из О в О', r₀=ut.

Найдем связь между координатами произвольной точки А в обеих системах. Из рис. 58 видно, что

r = r' + r₀=r' + ut. (34.1)

Уравнение (34.1) можно записать в про­екциях на оси координат:

Уравнения (34.1) и (34.2) носят название преобразований координат Галилея.

В частном случае, когда система К' движется со скоростью v вдоль положи­тельного направления оси х системы К (в начальный момент времени оси коорди­нат совпадают), преобразования коорди­нат Галилея имеют вид

В классической механике предполага­ется, что ход времени не зависит от отно­сительного движения систем отсчета, т. е. к преобразованиям (34.2) можно до­бавить еще одно уравнение:

t=t'. (34.3)

Записанные соотношения справедливы лишь в случае классической механики (u<<с), а при скоростях, сравнимых со скоростью света, преобразования Галилея заменяются более общими преобразовани­ями Лоренца (§36).

Продифференцировав выражение (34.1) по времени (с учетом (34.3)), получим уравнение

v = v' + u, (34.4)

которое представляет собой правило сло­жения скоростей в классической механике.

Ускорение в системе отсчета К

Таким образом, ускорение точки А в системах отсчета К и К', движущихся друг относительно друга равномерно и прямолинейно, одинаково:

а = а'. (34.5)

Следовательно, если на точку А другие тела не действуют (а = 0), то, согласно (34.5), и а' = 0, т.е. система K' является инерциальной (точка движется относи­тельно нее равномерно и прямолинейно или покоится).

Таким образом, из соотношения (34.5) вытекает доказательство механического принципа относительности: уравнения ди­намики при переходе от одной инерциаль­ной системы отсчета к другой не изменя­ются, т. е. являются инвариантнымипо отношению к преобразованиям координат. Галилей обратил внимание, что никакими механическими опытами, проведенными в данной инерциальной системе отсчета, нельзя установить, покоится ли она или движется равномерно и прямолинейно. Например, сидя в каюте корабля, дви­жущегося равномерно и прямолинейно, мы не можем определить, покоится корабль или движется, не выглянув в окно.

Постулаты специальной (частной) теории относительности

Классическая механика Ньютона прекрас­но описывает движение макротел, движу­щихся с малыми скоростями (v<<с). Од­нако в конце XIX в. выяснилось, что выво­ды классической механики противоречат некоторым опытным данным, в частности при изучении движения быстрых заря­женных частиц оказалось, что их движе­ние не подчиняется законам механики. Да­лее возникли затруднения при попытках применить механику Ньютона к объяснению распространения света. Если источник и приемник света движутся друг относи­тельно друга равномерно и прямолинейно, то, согласно классической механике, изме­ренная скорость должна зависеть от отно­сительной скорости их движения. Амери­канский физик А. Майкельсон (1852— 1913) в своем знаменитом опыте в 1881 г., а затем в 1887 г. совместно с Е. Морли (американский физик, 1838—1923) — опыт Майкельсона — Морли —пытался обнаружить движение Земли относительно эфира (эфирный ветер), применяя интер­ферометр Майкельсона (см. § 175). Обна­ружить эфирный ветер Майкельсону не удалось, как, впрочем, не удалось его об­наружить и в других многочисленных опы­тах. Опыты «упрямо» показывали, что ско­рости света в двух движущихся друг отно­сительно друга системах равны. Это противоречило правилу сложения скоро­стей классической механики.

Одновременно было показано противо­речие между классической теорией и урав­нениями (см. § 139) Дж. К. Максвелла (английский физик, 1831 —1879), лежащи­ми в основе понимания света как электро­магнитной волны.

Для объяснения этих и некоторых дру­гих опытных данных необходимо было со­здать новую механику, которая, объясняя эти факты, содержала бы ньютоновскую механику как предельный случай для ма­лых скоростей (v<<с). Это и удалось сде­лать А. Эйнштейну, одному из основателей современной физики, который, по словам В. И. Ленина, является одним «из великих преобразователей естествознания». А. Эйн­штейн пришел к выводу о том, что миро­вого эфира — особой среды, которая мог­ла бы быть принята в качестве абсолют­ной системы,— не существует. Существо­вание постоянной скорости распростране­ния света в вакууме находилось в со­гласии с уравнениями Максвелла.

Таким образом, А. Эйнштейн заложил основы специальной теории относительно­сти.Эта теория представляет собой совре­менную физическую теорию пространства и времени, в которой, как и в классической ньютоновской механике, предполагается, что время однородно (см. §13), а про-странство однородно (см. § 9) и изотропно (см. §19). Специальная теория относи­тельности часто называется также реляти­вистской теорией,а специфические явле­ния, описываемые этой теорией,— реляти­вистскими эффектами.

В основе специальной теории относи­тельности лежат постулаты Эйнштей­на,сформулированные им в 1905 г.

I. Принцип относительности:никакие опыты (механические, электрические, оп­тические), проведенные внутри данной инерциальной системы отсчета, не дают возможности обнаружить, покоится ли эта система или движется равномерно и прямолинейно; все законы природы ин­вариантны по отношению к переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой.

II. Принцип инвариантности скорости света:скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя и одинакова во всех инерци­альных системах отсчета.

Первый постулат Эйнштейна, являясь обобщением механического принципа от­носительности Галилея на любые физиче­ские процессы, утверждает, таким обра­зом, что физические законы инвариантны по отношению к выбору инерциальной системы отсчета, а уравнения, описываю­щие эти законы, одинаковы по форме во всех инерциальных системах отсчета. Со­гласно этому постулату, все инерциальные системы отсчета совершенно равноправны, т. е. явления (механические, электродина­мические, оптические и др.) во всех инер­циальных системах отсчета протекают одинаково.

Согласно второму постулату Эйнштей­на, постоянство скорости света — фунда­ментальное свойство природы, которое констатируется как опытный факт.

Специальная теория относительности потребовала отказа от привычных пред­ставлений о пространстве и времени, при­нятых в классической механике, поскольку они противоречили принципу постоянства скорости света. Потеряло смысл не только абсолютное пространство, но и абсолют­ное время.

Постулаты Эйнштейна и теория, по-

строенная на их основе, установили новый взгляд на мир и новые пространственно-временные представления, такие, напри­мер, как относительность длин и проме­жутков времени, относительность одновре­менности событий. Эти и другие следствия из теории Эйнштейна находят надежное экспериментальное подтверждение, явля­ясь тем самым обоснованием постулатов Эйнштейна — обоснованием специальной теории относительности.

Преобразования Лоренца

Анализ явлений в инерциальных системах отсчета, проведенный А. Эйнштейном на основе сформулированных им постулатов, показал, что классические преобразования Галилея несовместимы с ними и, следова­тельно, должны быть заменены преобразо­ваниями, удовлетворяющими постулатам теории относительности.

Для иллюстрации этого вывода рас­смотрим две инерциальные системы отсче­та: К (с координатами х, у, z) и К' (с ко­ординатами х', у', z'), движущуюся отно­сительно К (вдоль оси х) со скоростью v = const (рис.59). Пусть в начальный момент времени t=t'=0, когда начала координат О и О' совпадают, излучается световой импульс. Согласно второму по­стулату Эйнштейна, скорость света в обе­их системах одна и та же и равна с. По­этому если за время t в системе К сигнал дойдет до некоторой точки А (рис. 59), пройдя расстояние

x = ct, (36.1) то в системе К' координата светового им­пульса в момент достижения точки А

x'=ct', (36.2)

где t' — время прохождения светового им­пульса от начала координат до точки А в системе К'. Вычитая (36.1) из (36.2),

получим

x'—x = c(t'-t).

Так как х'¹х (система К' перемещается по отношению к системе К), то

t'¹t,

т. е. отсчет времени в системах К и К' различен — отсчет времени имеет относи­тельный характер (в классической физике считается, что время во всех инерциаль­ных системах отсчета течет одинаково, т.е. t=t').

Эйнштейн показал, что в теории отно­сительности классические преобразования Галилея, описывающие переход от одной инерциальной системы отсчета к другой (см.§34):

— заменяются преобразованиями Лорен­ца, удовлетворяющими постулатам Эй­нштейна (формулы представлены для слу­чая, когда К' движется относительно К со скоростью v вдоль оси х).

Эти преобразования предложены Лоренцом в 1904 г., еще до появления теории относительности, как преобразования, относительно которых уравнения Макс­велла (см. § 139) инвариантны.

Преобразования Лоренцаимеют вид

Из сравнения приведенных уравнений вы­текает, что они симметричны и отличают­ся лишь знаком при v. Это очевидно, так как если скорость движения системы К' относительно системы К равна v, то ско­рость движения К относительно К! рав­на -v.

Из преобразований Лоренца вытекает также, что при малых скоростях (по срав­нению со скоростью света), т.е. когда b<<1, они переходят в классические пре­образования Галилея (в этом заключается суть принципа соответствия),которые яв­ляются, следовательно, предельным случа­ем преобразований Лоренца. При v>c выражения (36.3) для х, t, x', t' теря­ют физический смысл (становятся мнимы­ми). Это находится, в свою очередь, в со­ответствии с тем, что движение со скоро­стью, большей скорости света в вакууме, невозможно.

Из преобразований Лоренца следует очень важный вывод о том, что как рассто­яние, так и промежуток времени между двумя событиями меняются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, в то время как в рамках пре­образований Галилея эти величины счита­лись абсолютными, не изменяющимися при переходе от системы к системе. Кроме того, как пространственные, так и времен­ные преобразования (см. (36.3)) не явля­ются независимыми, поскольку в закон преобразования координат входит время, а в закон преобразования времени — про­странственные координаты, т. е. устанав­ливается взаимосвязь пространства и вре­мени. Таким образом, теория Эйнштейна оперирует не с трехмерным простран­ством, к которому присоединяется понятие времени, а рассматривает неразрывно свя­занные пространственные и временные ко­ординаты, образующие четырехмерное пространство-время.

Следствия из преобразований Лоренца

1. Одновременность событий в разных системах отсчета.Пусть в системе K в точ­ках с координатами х₁ и x₂ в моменты времени t₁ и t₂ происходят два события.

В системе К' им соответствуют координа­ты х'₁ и x'₂ и моменты времени t'₁ и t'₂. Если события в системе К происходят в одной точке (х₁=х₂) и являются одновременны­ми (t₁=t₂), то, согласно преобразованиям Лоренца (36.3),

x'₁=x'₂,t'₁=t'₂

т. е. эти события являются одновременны­ми и пространственно совпадающими для любой инерциальной системы отсчета.

Если события в системе К простран­ственно разобщены (х₁¹х₂), но одновре­менны (t₁=t₂), то в системе К', согласно преобразованиям Лоренца (36.3),

Таким образом, в системе К' эти события, оставаясь пространственно разобщенны­ми, оказываются и неодновременными. Знак разности t'₂- t'₁ определяется знаком выражения v(x₁-x₂), поэтому в различ­ных точках системы отсчета К' (при раз­ных v) разность t'₂-t'₁ будет различной по величине и может отличаться по знаку. Следовательно, в одних системах отсчета первое событие может предшествовать второму, в то время как в других системах отсчета, наоборот, второе событие пред­шествует первому. Сказанное, однако, не относится к причинно-следственным собы­тиям, так как можно показать, что по­рядок следования причинно-следственных событий одинаков во всех инерциальных системах отсчета.

2. Длительность событий в разных системах отсчета. Пусть в некоторой точке (с координатой х), покоящейся относи­тельно системы К, происходит событие, длительность которого (разность показа­ний часов в конце и начале события) t=t₂-t₁, где индексы 1 и 2 соответствуют началу и концу события. Длительность

этого же события в системе К

t'=t'₂-t'₁, (37.1)

причем началу и концу события, согласно (36.3), соответствуют

Подставляя (37.2) в (37.1), получим

Из соотношения (37.3) вытекает, что t<t', т. е. длительность события, проис­ходящего в некоторой точке, наименьшая в той инерциальной системе отсчета, отно­сительно которой эта точка неподвижна. Этот результат может быть еще истолко­ван следующим образом: интервал време­ни t', отсчитанный по часам в системе К', с точки зрения наблюдателя в системе К, продолжительнее интервала т, отсчитан­ного по его часам. Следовательно, часы, движущиеся относительно инерциальной системы отсчета, идут медленнее покоя­щихся часов, т. е. ход часов замедляется в системе отсчета, относительно которой часы движутся. На основании относитель­ности понятий «неподвижная» и «движу­щаяся» системы соотношения для t и t' обратимы. Из (37.3) следует, что замедле­ние хода часов становится заметным лишь при скоростях, близких к скорости света в вакууме.

В связи с обнаружением релятивист­ского эффекта замедления хода часов в свое время возникла проблема «парадок­са часов» (иногда рассматривается как «парадокс близнецов»), вызвавшая много­численные дискуссии. Представим себе, что осуществляется фантастический кос­мический полет к звезде, находящейся на расстоянии 500 световых лет (расстояние, на которое свет от звезды до Земли до­ходит за 500 лет), со скоростью, близкой к скорости света (Ö(1-b²) = 0,001). По зем­ным часам полет до звезды и обратно продлится 1000 лет, в то время как для системы корабля и космонавта в нем такое же путешествие займет всего 1 год. Таким образом, космонавт возвратится на Землю

в 1/Ö(1-b²) раз более молодым, чем его брат-близнец, оставшийся на Земле. Это явление, получившее название парадокса близнецов,в действительности парадокса не содержит. Дело в том, что принцип относительности утверждает равноправ­ность не всяких систем отсчета, а только инерциальных. Неправильность рассужде­ния состоит в том, что системы отсчета, связанные с близнецами,— не эквивалент­ны: земная система инерциальна, а кора­бельная — неинерциальна, поэтому к ним принцип относительности неприменим.

Релятивистский эффект замедления хода часов является совершенно реаль­ным и получил экспериментальное под­тверждение при изучении нестабильных, самопроизвольно распадающихся элемен­тарных частиц в опытах с p-мезонами. Среднее время жизни покоящихся p-мезо­нов (по часам, движущимся вместе с ни­ми) t»2,2•10^-8с. Следовательно, p-ме­зоны, образующиеся в верхних слоях ат­мосферы (на высоте «30 км) и движущи­еся со скоростью, близкой к скорости света, должны были бы проходить рассто­яния сt»6,6 м, т. е. не могли бы достигать земной поверхности, что противоречит действительности. Объясняется это реля­тивистским эффектом замедления хода времени: для земного наблюдателя срок

жизни p-мезона t' =t/Ö(1-b²), а путь этих

частиц в атмосфере vt'= (bct'= bct/Ö(1-b²). Так как b»1, то vt'>>сt.

3. Длина тел в разных системах отсче­та.Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси х' и покоящийся относительно системы К'. Длина стержня в системе К' будет l'₀=x'₂ -х'₁, где х'₁ и х'₂ — не изменя­ющиеся со временем t' координаты начала и конца стержня, а индекс 0 показывает, что в системе отсчета К' стержень покоит­ся. Определим длину этого стержня в системе К, относительно которой он движется со скоростью v. Для этого необхо­димо измерить координаты его концов х₁ и x₂ в системе K в один и тот же момент времени t. Их разность l= х₂-х₁ и даст длину стержня в системе К. Используя преобразования Лоренца (36.3), полу­чим

Таким образом, длина стержня, измерен­ная в системе, относительно которой он движется, оказывается меньше длины, из­меренной в системе, относительно которой стержень покоится. Если стержень покоит­ся в системе К, то, определяя его длину в системе К', опять-таки придем к выраже­нию (37.4).

Из выражения (37.4) следует, что ли­нейный размер тела, движущегося относи­тельно инерциальной системы отсчета, уменьшается в направлении движения

в Ö(1-b²) раз, т. е. так называемое лоренцево сокращение длины тем больше, чем больше скорость движения. Из второго и третьего уравнений преобразований Ло­ренца (36.3) следует, что

y'₂-y'₁=y₂-y₁ и z'₂ - z'₁=z₂ - z₁ ,

т. е. поперечные размеры тела не зависят от скорости его движения и одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Та­ким образом, линейные размеры тела наи­большие в той инерциальной системе от­счета, относительно которой тело покоит­ся.

4. Релятивистский закон сложения скоростей.Рассмотрим движение матери­альной точки в системе К', в свою очередь движущейся относительно системы К со скоростью v. Определим скорость этой же точки в системе К. Если в системе К дви­жение точки в каждый момент времени t определяется координатами х, у, z, а в системе К,' в момент времени t' —координатами х' , у' , z' , то

представляют собой соответственно проек­ции на оси х, у, z и х', у', z' вектора скоро­сти рассматриваемой точки относительно систем K и K'.

Согласно преобразованиям Лоренца (36.3),

Произведя соответствующие преобразова­ния, получаем релятивистский закон сло­жения скоростейспециальной теории от­носительности:

Если материальная точка движется параллельно оси х, то скорость u относи­тельно системы К. совпадает с u_х, а скоро­сть u' относительно К' — с u'_х. Тогда закон сложения скоростей примет вид

Легко убедиться в том, что если скоро­сти v, u' и u малы по сравнению со скоро­стью света с, то формулы (37.5) и (37.6) переходят в закон сложения скоростей

в классической механике (см. (34.4)). Та­ким образом, законы релятивистской ме­ханики в предельном случае для малых скоростей (по сравнению со скоростью света) переходят в законы классической физики, которая, следовательно, является частным случаем механики Эйнштейна для малых скоростей.

Релятивистский закон сложения ско­ростей подчиняется второму постулату Эй­нштейна (см. §35). Действительно, если u' = с, то формула (37.6) примет вид u= (c+v)/(1+cv/c)=с (аналогично можно показать, что при u =с скорость u' также рав­на с). Этот результат свидетельствует о том, что релятивистский закон сложения скоростей находится в согласии с постула­тами Эйнштейна.

Докажем также, что если складывае­мые скорости сколь угодно близки к скоро­сти света с, то их результирующая ско­рость будет всегда меньше или равна с. В качестве примера рассмотрим предель­ный случай u' = v = c. После подстановки в формулу (37.6) получим u=с. Таким образом, при сложении любых скоростей результат не может превысить скорости света с в вакууме. Скорость света в вакуу­ме есть предельная скорость, которую не­возможно превысить. Скорость света в ка­кой-либо среде, равная с/n (n — абсолют­ный показатель преломления среды), предельной величиной не является (под­робнее см. § 189).

. Интервал между событиями

Преобразования Лоренца и следствия из них приводят к выводу об относительности длин и промежутков времени, значение которых в различных системах отсчета разное. В то же время относительный ха­рактер длин и промежутков времени в тео­рии Эйнштейна означает относительность отдельных компонентов какой-то реальной физической величины, не зависящей от системы отсчета, т. е. являющейся инвари­антной по отношению к преобразованиям координат. В четырехмерном пространстве Эйнштейна, в котором каждое событие характеризуется четырьмя координатами

(х, у, z, t), такой физической величиной является интервалмежду двумя событи­ями:

ного трехмерного пространства, в которых эти события произошли. Введя обозначе­ние t₁₂=t₂-t₁, получим

Покажем, что интервал между двумя событиями одинаков во всех инерциаль­ных системах отсчета. Обозначив Dt = t₂-t₁, Dx=x₂-x₁, Dy =y₂ -y₁ и Dz=z₂-z1, выражение (38.1) можно записать в виде

Интервал между теми же событиями в системе К' равен

Согласно преобразованиям Лоренца (36.3),

Подставив эти значения в (38.2), по­сле элементарных преобразований полу­чим, что (s'₁₂)² = c²(Dt)²-(Dx)²-(Dy)²-(Dz)², т. е.

(s'₁₂)² = s²₁₂.

Обобщая полученные результаты, можно сделать вывод, что интервал, опре­деляя пространственно-временные соотно­шения между событиями, является инва­риантом при переходе от одной инерциаль­ной системы отсчета к другой. Инвари­антность интервала означает, что, не­смотря на относительность длин и про­межутков времени, течение событий носит

объективный характер и не зависит от системы отсчета.

Теория относительности, таким обра­зом, сформулировала новое представление о пространстве и времени, обобщенное далее в диалектическом материализме. Пространственно-временные отношения являются не абсолютными величинами, как утверждала механика Галилея — Ньютона, а относительными. Следователь­но, представления об абсолютном про­странстве и времени являются несостоя­тельными. Кроме того, инвариантность интервала между двумя событиями свиде­тельствует о том, что пространство и вре­мя органически связаны между собой и образуют единую форму существования материи — пространство-время. Про­странство и время не существуют вне ма­терии и независимо от нее. Ф. Энгельс подчеркивал, что «обе эти формы су­ществования материи без материи суть ничто, простые представления, абстрак­ции, существующие только в нашей голо­ве» (Маркс К. и Энгельс Ф. Соч. 2-е изд. Т. 20. С. 550).

Дальнейшее развитие теории относи­тельности (общая теория относительно­сти,или теория тяготения)показало, что свойства пространства-времени в данной области определяются действующими в ней полями тяготения. При переходе к космическим масштабам геометрия про­странства-времени не является евклидо­вой (т. е. не зависящей от размеров об­ласти пространства-времени), а изменяет­ся от одной области к другой в за­висимости от концентрации масс в этих областях и их движения.

Основной закон релятивистской динамики материальной точки

Согласно представлениям классической механики, масса тела есть величина по­стоянная. Однако в конце XIX столетия на опытах с быстро движущимися электрона­ми было установлено, что масса тела за­висит от скорости его движения, а имен­но возрастает с увеличением скорости по закону

где m₀ — масса покояматериальной точ­ки, т. е. масса, измеренная в той инерци­альной системе отсчета, относительно ко­торой материальная точка находится в по­кое; с —скорость света в вакууме; m — масса точки в системе отсчета, относи­тельно которой она движется со скоростью v. Из принципа относительности Эйн­штейна (см. §35), утверждающего инва­риантность всех законов природы при пе­реходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, следует условие инвари­антности уравнений физических законов относительно преобразований Лоренца. Основной закон динамики Ньютона

оказывается также инвариантным по от­ношению к преобразованиям Лоренца, ес­ли в нем справа стоит производная по времени от релятивистского импульса.

Основной закон релятивистской дина­микиматериальной точки имеет вид

— релятивистский импульсматериальной точки.

Отметим, что уравнение (39.3) внешне совпадает с основным уравнением ньюто­новской механики (6.7). Однако физиче­ский смысл его другой: справа стоит про­изводная по времени от релятивистского импульса, определяемого форму­лой (39.4). Таким образом, уравне­ние (39.2) инвариантно по отношению

к преобразованиям Лоренца и, следова­тельно, удовлетворяет принципу относи­тельности Эйнштейна. Следует учитывать, что ни импульс, ни сила не являются инва­риантными величинами. Более того, в об­щем случае ускорение не совпадает по направлению с силой.

В силу однородности пространства (см. § 9) в релятивистской механике вы­полняется закон сохранения релятивист­ского импульса:релятивистский импульс замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени. Часто во­обще не оговаривают, что рассматривают релятивистский импульс, так как если тела движутся со скоростями, близкими к с, то можно использовать только релятивист­ское выражение для импульса.

Анализ формул (39.1), (39.4) и (39.2) показывает, что при скоростях, значитель­но меньших скорости света, уравне­ние (39.2) переходит в основной закон (см. (6.5)) классической механики. Следо­вательно, условием применимости законов классической (ньютоновской) механики является условие v<<с. Законы классиче­ской механики получаются как следствие теории относительности для предельного случая v<<с (формально переход осуще­ствляется при с®¥). Таким образом, классическая механика — это механика макротел, движущихся с малыми скоро­стями (по сравнению со скоростью света в вакууме).

Экспериментальное доказательство за­висимости массы от скорости (39.1) явля­ется подтверждением справедливости спе­циальной теории относительности. В даль­нейшем (см. §116) будет показано, что на основании этой зависимости про­изводятся расчеты ускорителей

Закон взаимосвязи массы и энергии

Найдем кинетическую энергию релятиви­стской частицы (материальной точки). Раньше (§ 12) было показано, что при­ращение кинетической энергии материаль­ной точки на элементарном перемещении равно работе силы на этом перемещении:

dT = dA или dT=Fdr. (40.1)

Учитывая, что dr= vdt, и подставив в (40.1) выражение (39.2), получим

Преобразовав данное выражение с учетом того, что vdv=vdv, и формулы (39.1), придем к выражению

т. е. приращение кинетической энергии частицы пропорционально приращению ее массы.

Так как кинетическая энергия покоя­щейся частицы равна нулю, а ее масса равна массе покоя то, то, проинтегриро­вав (40.2), получим

Т=(m-m₀)с², (40.3)

или кинетическая энергия релятивистской частицы имеет вид

Выражение (40.4) при скоростях v<<с пе­реходит в классическое:

T = m₀v²/2

(разлагая в ряд (1-v²/с²)^-1/2= 1 +¹/₂Xv²/c²+³/₈v⁴/c⁴+... при v<<с, правомерно

пренебречь членами второго порядка ма­лости).

А. Эйнштейн обобщил положение (40.2), предположив, что оно справедли­во не только для кинетической энергии материальной точки, но и для полной энер­гии, а именно: любое изменение массы Dm сопровождается изменением полной энер­гии материальной точки,

DE=с²Dm. (40.5) Отсюда А. Эйнштейн пришел к универсальной зависимости между полной энер­гией тела Е и его массой m:

Уравнение (40.6), равно как и (40.5), вы­ражает фундаментальный закон приро­ды— закон взаимосвязи (пропорциональ­ности) массы и энергии:полная энергия системы равна произведению ее массы на квадрат скорости света в вакууме. Отме­тим, что в полную энергию Е не входит потенциальная энергия тела во внешнем силовом поле.

Закон (40.6) можно, учитывая выра­жение (40.3), записать в виде

Е = m₀с² + Т,

откуда следует, что покоящееся тело (Т = = 0) также обладает энергией

Е₀=m₀с²,

называемой энергией покоя.Классическая механика энергию покоя Е₀ не учитывает, считая, что при v=0 энергия покоящегося тела равна нулю.

В силу однородности времени (см. § 13) в релятивистской механике, как и в классической, выполняется закон со­хранения энергии:полная энергия замкну­той системы сохраняется, т. е: не изменя­ется с течением времени.

Из формул (40.6) и (39.4) найдем релятивистское соотношение между пол­ной энергией и импульсом частицы:

Возвращаясь к уравнению (40.6), от­метим еще раз, что оно имеет универсаль­ный характер. Оно применимо ко всем формам энергии, т. е. можно утверждать, что с энергией, какой бы формы она ни была, связана масса

m=Е/с² (40.8)

связи и устойчивость системы каких-либо частиц (например, атомного ядра как системы из протонов и нейтронов), рас­сматривают энергию связи. Энергия связи системыравна работе, которую необходи­мо затратить, чтобы разложить эту систе­му на составные части (например, атомное ядро—на протоны и нейтроны). Энергия связи системы

где m_0i — масса покоя i-й частицы в сво­бодном состоянии; m₀ — масса покоя системы, состоящей из n частиц.

Закон взаимосвязи (пропорционально­сти) массы и энергии блестяще подтвер­жден экспериментом о выделении энергии при протекании ядерных реакций. Он широко используется для расчета энергетиче­ских эффектов при ядерных реакциях и превращениях элементарных частиц.

Рассматривая выводы специальной те­ории относительности, видим, что она, как, впрочем, и любые крупные открытия, по­требовала пересмотра многих установив­шихся и ставших привычными представле­ний. Масса тела не остается постоянной величиной, а зависит от скорости тела; длина тел и длительность событий не яв­ляются абсолютными величинами, а носят относительный характер; наконец, масса и энергия оказались связанными друг с другом, хотя они и являются качественно различными свойствами материи.

Эту ломку укоренившихся представле­ний некоторые буржуазные философы пы­тались использовать для распространения двух разновидностей идеализма: энерге­тизма и философского релятивизма. Пер­вая из этих теорий рассматривала воз­можность преобразования массы в энер­гию и, наоборот, энергии в массу, «доказывая» «эквивалентность материи и энергии». Закон взаимосвязи массы и энергии действительно утверждает, что любые превращения энергии тела сопровождаются изменениями его массы, одна­ко при этом масса не «переходит в энер­гию». Закон взаимосвязи массы и энергии является подтверждением неразрывности материи и движения — одного из основ­ных положений диалектического материа­лизма.

Философский релятивизм считает, что наше познание относительно и зависит «от выбора точки зрения наблюдателя». Одна­ко из постулатов и следствий теории Эйн­штейна относительность нашего познания не вытекает. Тот факт, что длина тел и длительность событий в разных инерци­альных системах отсчета различны, не да­ет оснований считать, что объективное описание окружающего нас мира невоз­можно. В. И. Ленин в книге «Материализм и эмпириокритицизм» писал: «Человече­ские представления о пространстве и вре­мени относительны, но из этих относитель­ных представлений складывается абсо­лютная истина, эти относительные пред­ставления, развиваясь, идут по линии абсолютной истины, приближаются к ней. Изменчивость человеческих представле­ний о пространстве и времени так же мало опровергает объективную реальность того и другого, как изменчивость научных зна­ний о строении и формах движения мате­рии не опровергает объективной реально­сти внешнего мира» (Полн. собр. соч. Т. 18. С. 181).

Основной вывод теории относительно­сти сводится к тому, что пространство и время органически взаимосвязаны и об­разуют единую форму существования ма­терии — пространство-время. Только по­этому пространственно-временной интер­вал между двумя событиями является абсолютным, в то время как простран­ственные и временные промежутки между этими событиями относительны. Следова­тельно, вытекающие из преобразований Лоренца следствия являются выражением объективно существующих пространствен­но-временных соотношений движущейся материи.

Основы молекулярной физики и термодинамики

Статистический и термодинамический методы исследования.Молекулярная фи­зика и термодинамика — разделы физики, в которых изучаются макроскопические

процессыв телах, связанные с огромным числом содержащихся в телах атомов и молекул. Для исследования этих про­цессов применяют два качественно раз­личных и взаимно дополняющих друг дру­га метода: статистический (молекулярно-кинетический) и термодинамический.Пер­вый лежит в основе молекулярной физики, второй — термодинамики.

Молекулярная физика —раздел физи­ки, изучающий строение и свойства ве­щества исходя из молекулярно-кинетических представлений, основывающихся на том, что все тела состоят из молекул, находящихся в непрерывном хаотическом движении.

Идея об атомном строении вещества высказана древнегреческим философом Демокритом (460—370 до н. э.). Атомисти­ка возрождается вновь лишь в XVII в. и развивается в работах М. В. Ломоно­сова, взгляды которого на строение ве­щества и тепловые явления были близки к современным. Строгое развитие молеку­лярной теории относится к середине XIX в. и связано с работами немецкого физика Р.Клаузиуса (1822—1888), ан­глийского физика Дж. Максвелла (1831 — 1879) и австрийского физика Л. Больцма­на (1844—1906).

Процессы, изучаемые молекулярной физикой, являются результатом совокуп­ного действия огромного числа молекул. Законы поведения огромного числа моле­кул, являясь статистическими закономер­ностями, изучаются с помощью статисти­ческого метода.Этот метод основан на

том, что свойства макроскопической систе­мы в конечном счете определяются свой­ствами частиц системы, особенностями их движения и усредненными значениями ди­намических характеристик этих частиц (скорости, энергии и т.д.). Например, температура тела определяется скоростью беспорядочного движения его молекул, но так как в любой момент времени разные молекулы имеют различные скорости, то она может быть выражена только через среднее значение скорости движения мо­лекул. Нельзя говорить о температуре од­ной молекулы. Таким образом, макроско­пические характеристики тел имеют физи­ческий смысл лишь в случае большого числа молекул.

Термодинамика— раздел физики, изу­чающий общие свойства макроскопиче­ских систем, находящихся в состоянии термодинамического равновесия, и про­цессы перехода между этими состояниями. Термодинамика не рассматривает микро­процессы, которые лежат в основе этих превращений. Этим термодинамический методотличается от статистического. Термодинамика базируется на двух на­чалах — фундаментальных законах, уста­новленных в результате обобщения опыт­ных данных.

Область применения термодинамики значительно шире, чем молекулярно-кинетической теории, ибо нет таких областей физики и химии, в которых нельзя было бы пользоваться термодинамическим мето­дом. Однако, с другой стороны, термодинамический метод несколько огра­ничен: термодинамика ничего не говорит о микроскопическом строении вещества, о механизме явлений, а лишь устанавли­вает связи между макроскопическими

свойствами вещества. Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика взаимно дополняют друг друга, образуя единое целое, но отличаясь различными методами исследования.

Термодинамика имеет дело с термоди­намической системой— совокупностью макроскопических тел, которые взаимо­действуют и обмениваются энергией как между собой, так и с другими телами (внешней средой). Основа термодинами­ческого метода — определение состояния термодинамической системы. Состояние системы задается термодинамическими параметрами (параметрами состояния) —совокупностью физических величин, ха­рактеризующих свойства термодинамиче­ской системы. Обычно в качестве парамет­ров состояния выбирают температуру, давление и удельный объем.

Температура — одно из основных по­нятий, играющих важную роль не только в термодинамике, но и в физике в целом. Температура— физическая величина, ха­рактеризующая состояние термодинами­ческого равновесия макроскопической системы. В соответствии с решением XI Генеральной конференции по мерам и весам (1960) в настоящее время можно применять только две температурные шка­лы — термодинамическую и Международ­ную практическую,градуированные соот­ветственно в Кельвинах (К) и в градусах Цельсия (°С).

В Международной практической шка­летемпература замерзания и кипения во­ды при давлении 1,013•10⁵ Па соответ­ственно 0 и 100 °С (так называемые реперные точки).

Термодинамическая температурная шкалаопределяется по одной реперной точке, в качестве которой взята тройная точка воды(температура, при которой лед, вода и насыщенный пар при давле­нии 609 Па находятся в термодинамиче­ском равновесии). Температура этой точки по термодинамической шкале равна 273,16 К, (точно). Градус Цельсия равен Кельвину. В термодинамической шкале температура замерзания воды равна 273,15 К (при том же давлении, что и в Международной практической шкале), поэтому, по определению, термодинамиче­ская температура и температура по Меж­дународной практической шкале связаны соотношением T=273,15+t. Температура T=0 называется нулем кельвин.Анализ различных процессов показывает, что 0 К недостижим, хотя приближение к нему сколь угодно близко возможно.

Удельный объем v — это объем едини­цы массы. Когда тело однородно, т. е. его плотность r=const, то v= V/m= 1/r. Так как при постоянной массе удельный объем пропорционален общему объему, то мак­роскопические свойства однородного тела можно характеризовать объемом тела.

Параметры состояния системы могут изменяться. Любое изменение в термоди­намической системе, связанное с измене­нием хотя бы одного из ее термодинамиче­ских параметров, называется термодина­мическим процессом.Макроскопическая система находится в термодинамическом равновесии,если ее состояние с течением времени не меняется (предполагается, что внешние условия рассматриваемой систе­мы при этом не изменяются).

Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов

§ 41. Опытные законы идеального газа

В молекулярно-кинетической теории поль­зуются идеализированной моделью идеаль­ного газа,согласно которой:

1) собственный объем молекул газа пренебрежимо мал по сравнению с объемом сосуда;

2) между молекулами газа отсутству­ют силы взаимодействия;

3) столкновения молекул газа между собой и со стенками сосуда абсолютно упругие.

Модель идеального газа можно ис­пользовать при изучении реальных газов, так как они в условиях, близких к нор-

мальным (например, кислород и гелий), а также при низких давлениях и высоких температурах близки по своим свойствам к идеальному газу. Кроме того, внеся по­правки, учитывающие собственный объем молекул газа и действующие молекуляр­ные силы, можно перейти к теории реаль­ных газов.

Опытным путем, еще до появления молекулярно-кинетической теории, был уста­новлен целый ряд законов, описывающих поведение идеальных газов, которые мы и рассмотрим.

Закон Бойля — Мариотта: для дан­ной массы газа при постоянной температу­ре произведение давления газа на его объем есть величина постоянная:

pV = const (41.1) при Т=const, m=const.

Кривая, изображающая зависимость меж­ду величинами р и V, характеризующими свойства вещества при постоянной темпе­ратуре, называется изотермой.Изотермы представляют собой гиперболы, располо­женные на графике тем выше, чем выше температура, при которой происходит про­цесс (рис. 60).

Закон Гей-Люссака:1) объем дан­ной массы газа при постоянном давлении изменяется линейно с температурой:

V=V₀(1+at) (41.2) при p = const, m = const;

2) давление данной массы газа при по­стоянном объеме изменяется линейно с температурой:

p = p₀(1+at) (41.3) при V=const, m=const.

В этих уравнениях t — температура по шкале Цельсия, р₀ и V₀ — давление и объем при 0°С, коэффициент a=1/273,15 К^-1.

Процесс,протекающий при постоян­ном давлении, называется изобарным.На диаграмме в координатах V, t (рис.61) этот процесс изображается прямой, на­зываемой изобарой. Процесс,протекаю­щий при постоянном объеме, называется изохорным.На диаграмме в координатах р, t (рис. 62) он изображается прямой, называемой изохорой.

Из (41.2) и (41.3) следует, что изо­бары и изохоры пересекают ось темпера­тур в точке t =-1/a=-273,15 °С, опре­деляемой из условия 1+at=0. Если сместить начало отсчета в эту точку, то происходит переход к шкале Кельвина (рис. 62), откуда

T=t+1/a.

Вводя в формулы (41.2) и (41.3) термодинамическую температуру, законам Гей-Люссака можно придать более удоб­ный вид:

V=V₀(1+at)=V₀[1+a(T-1/a)]=v₀at,

p=p₀(1+at)=p₀ [1+a(Т-1/a)]=р₀aТ, или

V₁/V₂ = T₁/T₂ (41.4)

при p = const, m = const,

р₁/р₂ = T₁/T₂ (41.5) при V=const, m=const,

где индексы 1 и 2 относятся к произволь­ным состояниям, лежащим на одной изо­баре или изохоре.

Закон Авогадро: моли любых газов при одинаковых температуре и давлении занимают одинаковые объемы. При нор­мальных условиях этот объем равен 22,41•10^-3м³/моль.

По определению, в одном моле различ­ных веществ содержится одно и то же число молекул, называемое постоянной Авогадро:

n_а = 6,022•10²³ моль^-1.

Закон Дальтона:давление смеси идеальных газов равно сумме парциаль­ных давлений входящих в нее газов, т. е.

p=p₁+p₂+... + p_n,

где p₁,p₂, ..., p_n—парциальные давле­ния— давления, которые оказывали бы газы смеси, если бы они одни занимали объем, равный объему смеси при той же температуре.

Уравнение Клапейрона — Менделеева

Как уже указывалось, состояние некото­рой массы газа определяется тремя тер­модинамическими параметрами: давлением р, объемом V и температурой Т.

Между этими параметрами существует определенная связь, называемая уравне­нием состояния,которое в общем виде дается выражением

f(р, V, Т)=0,

где каждая из переменных является фун­кцией двух других.

Французский физик и инженер Б. Кла­пейрон (1799—1864) вывел уравнение со­стояния идеального газа, объединив за­коны Бойля — Мариотта и Гей-Люссака. Пусть некоторая масса газа занимает объем V₁, имеет давление р₁ и находится при температуре Т₁. Эта же масса газа в другом произвольном состоянии харак­теризуется параметрами р₂, V₂, Т₂ (рис.63). Переход из состояния 1 в со­стояние 2 осуществляется в виде двух процессов: 1) изотермического (изотерма 1—1'), 2) изохорного (изохора 1'—2).

В соответствии с законами Бойля — Мариотта (41.1) и Гей-Люссака (41.5) запишем:

p₁V₁=p'₁V₂, (42.1)

p'₁/p'₂=T₁/T₂ . (42.2)

Исключив из уравнений (42.1) и (42.2) р'₁, получим

p₁V₁/T₁=p₂V₂/Т₂ .

Так как состояния 1 и 2 были выбраны произвольно, то для данной массы газа

величина pV/T остается постоянной,

т. е.

pV/T =B=const. (42.3)

Выражение (42.3) является уравнением Клапейрона,в котором В — газовая по­стоянная, различная для разных газов.

Русский ученый Д. И. Менделеев (1834—1907) объединил уравнение Кла­пейрона с законом Авогадро, отнеся урав­нение (42.3) к одному молю, использовав молярный объем V_т. Согласно закону Авогадро, при одинаковых р и Т моли всех газов занимают одинаковый молярный объем V_m, поэтому постоянная В будет одинаковой для всех газов. Эта общая для всех газов постоянная обозначается R и называется молярной газовой посто­янной.Уравнению

pV_m = RT (42.4)

удовлетворяет лишь идеальный газ, и оно является уравнением состояния идеально­го газа,называемым также уравнением Клапейрона — Менделеева.

Числовое значение молярной газовой постоянной определим из формулы (42.4), полагая, что моль газа находится при нормальных условиях (р₀=1,013•10⁵ Па, T₀=273,15 K:, V_m= 22,41•10^-3м³/моль): R = 8,31 Дж/(моль•К).

От уравнения (42.4) для моля газа можно перейти к уравнению Клапейро­на — Менделеева для произвольной массы газа. Если при некоторых заданных давле­ний и температуре один моль газа занимает молярный объем l/m, то при тех же условиях масса т газа займет объем V = (m/M) V_m, где М — молярная масса(масса одного моля вещества). Единица молярной мас­сы — килограмм на моль (кг/моль). Урав­нение Клапейрона — Менделеева для мас­сы т газа

где v = m/M — количество вещества.

Часто пользуются несколько иной фор­мой уравнения состояния идеального газа, вводя постоянную Больцмана:

k=R/N_А=1,38•10^-23 Дж/К.

Исходя из этого уравнение состояния (42.4) запишем в виде

p = RT/V_m = kN_AT/V_m = nkT,

где N_A/V_m = n—концентрация молекул (число молекул в единице объема). Таким образом, из уравнения

p = nkT (42.6)

следует, что давление идеального газа при данной температуре прямо пропорцио­нально концентрации его молекул (или плотности газа). При одинаковых темпе­ратуре и давлении все газы содержат в единице объема одинаковое число моле­кул. Число молекул, содержащихся в 1 м³ газа при нормальных условиях, называется числом Лошмидта:

N_L = _P0/(kT₀) = 2,68•10²⁵ м^-3.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов

Для вывода основного уравнения молеку­лярно-кинетической теории рассмотрим одноатомный идеальный газ. Предполо­жим, что молекулы газа движутся хаоти­чески, число взаимных столкновений меж­ду молекулами газа пренебрежимо мало по сравнению с числом ударов о стенки сосуда, а соударения молекул со стенками сосуда абсолютно упругие. Выделим на стенке сосуда некоторую элементарную площадку DS (рис. 64) и вычислим давле­ние, оказываемое на эту площадку. При каждом соударении молекула, движущая­ся перпендикулярно площадке, передает ей импульс m₀v-(-m₀v)=2m₀v, где т₀ — масса молекулы, v — ее скорость.

За время Dt площадки DS достигнут только те молекулы, которые заключены в объеме цилиндра с основанием DS и высотой vDt (рис.64). Число этих молекул равно nDSvDt (n—концентрация молекул).

Необходимо, однако, учитывать, что реально молекулы движутся к площадке

DS под разными углами и имеют различ­ные скорости, причем скорость молекул при каждом соударении меняется. Для упрощения расчетов хаотическое движе­ние молекул заменяют движением вдоль трех взаимно перпендикулярных направ­лений, так что в любой момент времени вдоль каждого из них движется ¹/₃ моле­кул, причем половина молекул (¹/₆) дви­жется вдоль данного направления в одну сторону, половина — в противоположную. Тогда число ударов молекул, движущихся в заданном направлении, о площадку DS будет ¹/₆nDSvDt. При столкновении с пло­щадкой эти молекулы передадут ей им­пульс

DР = 2m₀v•¹/₆nDSvDt=¹/₃nm₀v²DSDt.

Тогда давление газа, оказываемое им на стенку сосуда,

p=DP/(DtDS)=¹/₃nm₀v². (43.1)

Если газ в объеме V содержит N молекул,

движущихся со скоростями v₁, v₂, ..., v_N, то

целесообразно рассматривать среднюю квадратичную скорость

характеризующую всю совокупность моле­кул газа.

Уравнение (43.1) с учетом (43.2) при­мет вид

р = ¹/₃пт₀ <v_кв>². (43.3)

Выражение (43.3) называется основ­ным уравнением молекулярно-кинетической теории идеальных газов.Точный рас­чет с учетом движения молекул по все-

возможным направлениям дает ту же формулу.

Учитывая, что n = N/V, получим

где Е — суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа.

Так как масса газа m =Nm₀, то урав­нение (43.4) можно переписать в виде

pV=¹/₃m<v_кв>².

Для одного моля газа т = М (М — моляр­ная масса), поэтому

pV_m=¹/₃M<v_кв>²,

где V_m — молярный объем. С другой сто­роны, по уравнению Клапейрона — Мен­делеева, pV_m=RT. Таким образом,

RT=¹/₃М <v_кв>², откуда

Так как М = m₀N_A, где m₀—масса од­ной молекулы, а N_А — постоянная Авогад­ро, то из уравнения (43.6) следует, что

где k = R/N_A—постоянная Больцмана. Отсюда найдем, что при комнатной темпе­ратуре молекулы кислорода имеют сред­нюю квадратичную скорость 480 м/с, во­дорода — 1900 м/с. При температуре жид­кого гелия те же скорости будут соответ­ственно 40 и 160 м/с.

Средняя кинетическая энергия посту­пательного движения одной молекулы иде­ального газа

<e₀) =E/N = m₀ <v_кв>)²/2 = ³/₂kT(43.8)

(использовали формулы (43.5) и (43.7)) пропорциональна термодинамической тем­пературе и зависит только от нее. Из этого уравнения следует, что при T=0 <e₀> =0,,т. е. при 0 К прекращается поступательное движение молекул газа, а следовательно, его давление равно нулю. Таким образом, термодинамическая температура является мерой средней кинетической энергии по­ступательного движения молекул идеаль­ного газа и формула (43.8) раскрывает молекулярно-кинетическое толкование температуры.