Уравнение прямой и плоскости в пространстве
Date: 2015-10-07; view: 596.
Общим уравнением плоскости называется уравнение
, (3.6)
полученное из уравнения плоскости, проходящей через данную точку 
перпендикулярно данному вектору 
:
. (3.7)
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки: 
, 
, 
имеет вид:
. (3.8)
Каноническими уравнениями прямой в пространстве называют уравнение
. (3.9)
Геометрический смысл канонических уравнений прямой заключаются в том, что они описывают прямую, проходящую через точку параллельно вектору 
, который называется направляющим вектором прямой.
Пример 3.6. Даны координаты вершин A(3;–2;–4), B(–5;3;4), C(1;–3;2), D(4;1;–2) пирамиды ABCD. Найти: а) уравнение прямой АВ, б) уравнение плоскости АВС.
Решение. Найдем координаты векторов 
:
.
а) Для того чтобы найти уравнение прямой AB, воспользуемся формулой прямой, проходящей через две точки:
. (3.10)
Подставим координаты точек A и B:
, или 
.
б) Для того чтобы найти уравнение плоскости ABC, воспользуемся формулой (3.8). Подставим координаты точек A, B и C:
.
Вычислим этот определитель, разлагая его по первой строке:
Раскрывая скобки и приравнивая нулю полученное выражение, получим уравнение искомой плоскости:
,
или
.
Пример 3.7. Составить канонические уравнения прямой, заданной общими уравнениями:
L: 
Решение. Чтобы составить канонические уравнения прямой, нужно знать какую-либо точку на этой прямой и какой-либо направляющий вектор. Найдем координаты точки. Для этого нужно найти общее решение данной системы двух уравнений, а затем выбрать какое-либо частное решение. Мы поступим несколько иначе, сразу выберем частное решение, для этого придадим какой-либо переменной числовое значение. Тогда останется только две переменные и система станет определенной. Решая полученную систему, найдем числовые значения оставшихся переменных, а, следовательно, и координаты точки на заданной прямой. Пусть x=0, тогда система примет вид:
Таким образом, M(0,1,1)ÎL. В качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор
,
где 
и 
– направляющие векторы плоскостей, входящих в общие уравнения прямой. Так как
={1;3;2}, ={5;1;2},
то
Таким образом,
L: 
Пример 3.8. Найти уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые:
L1: 
и L2: 
.
     L1 L2
M1
M2
|
Решение. Первая прямая проходит через точку 
, вторая через точку 
. Найдем нормальный вектор искомой плоскости:
.
Так как 
={3;2;1}, M1(2;–2;0), M2(1;1;1),
={–1;3;1}, то
Поскольку M1ÎL, то уравнение искомой плоскости будет иметь вид (см. формулу (3.7)):
P: –1(x–2)–4(y+2)+11z=0 Þ P: –x–4y+11z–6=0.
Пример 3.9. Найти координаты точки пересечения плоскости
P:2x+y–z–4=0 и прямой L: 
, а также угол между ними.
         L
j
P
|
Решение. Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость. Однако гораздо проще определить угол между векторами 
и . Поскольку
,
то
|cos( 
)| = |cos(900 ± j)| = sinj.
Отсюда следует формула для определения угла между плоскостью и прямой:
. (3.11)
В нашем случае
= {2;–1;2} и = {2;1;–1}.
Тогда
Þ j » 80.
Чтобы найти точку пересечения L и P, нужно решить систему трех уравнений (одно уравнения дает уравнение плоскости и два уравнения дают уравнения прямой). Однако мы поступим по-другому, представив уравнение прямой в параметрической форме:
Þ 
Подставим выражения для x, y и z в уравнение плоскости и найдем после этого параметр t:
2x+y–z–4=0 Þ 2(4+2t)+(–t)–(4+2t)–4=0 Þ t=0.
Найдем значения
которые являются координатами точки M пересечения прямой L и плоскости P:
= M(4;0;4).
| <== previous lecture | | | next lecture ==> |
| Уравнение прямой | | | Кривые второго поряка |