Кольцо классов вычетов.

Date: 2015-10-07; view: 421.

Лекция 12.

Примеры.

1. В кольце Z´ Z элементы вида (a,0) и (0,a) " a¹ 0 (и

только такие) являются делителями нуля.

1. В кольце функций F[a,b] функция Дирихле D(x) и

1-D(x) – делители нуля, так как D(x)(1- D(x))= 0. Также |sgn(x)|(1 - |sgn(x)|) = 0, (|x| - x)(|x| + x)= 0.

Утверждение. Если a | 1, то a | 0.

Действительно, если $ b Î K такой, что ab = 1, то есть

b = a ^-1, и $ cÎ K, с¹ 0,такой, что ac = 0, то b(ac) = b×0 = 0, но (ba)c =1×с = с= 0 - противоречие.

ÿ

Следствие. В поле нет делителей нуля.

Пусть Z - множество целых чисел, и m Î Z. Введем на Z бинарное отношение p следующим образом: для a, bÎ Z пусть по определению apb Û a – b=km при некотором kÎ Z. При m ¹ 0 это означает, что apb Û m |(a – b).

Утверждение. p - отношение эквивалентности на Z.