Замечания.

Date: 2015-10-07; view: 406.

1. Запишем СЛУ (4.1) в виде матричного уравнения

АХ = В. Пусть А – (п,п)-мат­рица и А^-1 существует. Если Х – решение уравнения, то, умножая левую и правую часть равенства АХ= В на матрицу А^-1 слева, получим, что Х= А^-1В. Это означает, что решение нашего матричного уравнения единственно. Непосредственной подстановкой в уравнение проверяется, что А^-1В является решением уравнения. Это означает существование решения.

1. В 7.6 при решении однородной СЛУ мы находили

ФСР, придавая набору (п – r) свободных неизвестных значения (1,0,0,...,0,0), (0,1,0,…,0,0),…,(0,0,0,…,1,0), (0,0,0,…,0,1). Минор, составленный из этих строк, размером (п –r)´(п – r) – это минор единичной матрицы, и он отличен от нуля. Таким образом мы находили (п – r) линейно независимых (базисных) решений в пространстве решений однородной СЛУ. Как и в любом пространстве, в пространстве решений однородной системы базисов существует много. В частности, базисом будет любое множество из (п – r) линейно независимых решений, то есть таких решений, матрица из координат которых имеет ранг (п – r). Это значит (см. 8.1), что матрица из координат должна иметь ненулевой минор порядка (п – r). Получать (все) решения с такой матрицей можно следующим образом: нужно придавать (п – r) свободным неизвестным (п – r) наборов значений произвольным образом с единственным условием – чтобы полученный (п –r)´(п – r)-минор был отличен от нуля, и затем, естественно, однозначно находить значения главных неизвестных.

Упражнение.Доказать, что таким образом мы получим все фундаментальные системы решений.