Упражнения.

Date: 2015-10-07; view: 457.

Элементарные матрицы.

В соответствии с определением элементарных преобразований I-го, II-го и III-го типа над строками или столбцами матрицы определим элементарные матрицы I-го, II-го и III-го типа.

Определение. Элементарной матрицей I-го типа называется (п,п)-матрица Р_i,j(с) = Е + сE_i,j , i ¹ j.

Элементарной матрицей II-го типа называется (п,п)-матрица Р_i,j= E_1,1+E_2,2+…+ E_i-1,i-1+ E_i,j+ E_i+1,i+1+…+E_j-1,j-1+E_j,i+E_j+1,j+1+

+…+ E_n,n = E - E_i,i - E_j,j + E_i,j + E_j,i , при i ¹ j.

Элементарной матрицей III-го типа называется диагональная (п,п)-матрица Р_i (c) = diag(1,1,…,c,…,1) =

= E_1,1 + E_2,2 + … + cE_i,i + … + E_n,n = Е + (с – 1)E_i,i , где с ¹ 0.

1. Проверить, что при умножении произвольной (п,т)- матрицы А слева на элементарную (п,п)-матрицу Р_i,j(с) у матрицы А к i-й строке прибавляется j-я строка с коэффициентом с, при умножении А слева на Р_i,j у матрицы А меняются местами i-я и j-я строки, при умножении А слева на Р_i (с) у матрицы А i-я строка умножается на с ¹ 0. Таким образом, при умножении матрицы А слева на элементарную матрицу s-го типа (s = I, II, III) над строками матрицы А происходит элементарное преобразование того же s-го типа.

2. Проверить, что при умножении произвольной (т,п)- матрицы А справа на элементарную (п,п)-матрицу Р_i,j(с) у матрицы А к j-му столбцу прибавляется i-й столбец с коэффициентом с, при умножении А справа на Р_i,j у матрицы А меняются местами i-й и j-й столбцы, при умножении А справа на Р_i (с) у матрицы А i-й столбец умножается на с . Таким образом, при умножении матрицы А справа на элементарную матрицу s-го типа над столбцами матрицы А происходит элементарное преобразование того же s-го типа.