Ранг произведения матриц.

Date: 2015-10-07; view: 399.

Теорема. Пусть А – (т,п)-матрица, В - (п,k)-матрица. Тогда rg(AB) £ min(rgA, rgB).

Доказательство. Пусть А¹, А²,…,А^п – столбцы матрицы А,

А = (А¹, А²,…,А^п). Тогда rgA = dim<А¹, А²,…,А^п>. Пусть сначала В = В¹ – (п,1)- матрица-столбец, В= . Тогда

АВ¹=a₁А¹+a₂А²+…+a_пА^п - (п,1)- матрица-столбец, и

АВ¹Î <А¹, А²,…,А^п>.

Теперь для произвольной (п,k)-матрицы В, записанной по столбцам, В =(В¹,В²,…,В^k), имеем АВ = (АВ¹,…, АВ^п). Так как все АВⁱ Î <А¹, А²,…,А^п>, то <АВ¹,…, АВ^п>Î <А¹, А²,…,А^п>, и dim<АВ¹,…, АВ^п> £ dim <А¹, А²,…,А^п>, то есть rg(АВ) £ rg A. Неравенство rg(АВ) £ rg В можно доказать аналогично, рассматривая линейную оболочку строчек матрицы В. А можно получить из доказанного следующим образом:

rg(АВ)= rg(АВ)^T = rg(B^TA^T) £ rgB^T = rgB.

ÿ