Минимальный многочлен линейного оператора и матрицы.

Date: 2015-10-07; view: 418.

Лекция 28.

16.5. Теорема Гамильтона – Кэли. Любая квадратная матрица А является корнем своего характеристического многочлена: c_A(А)=0.

Доказательство. Пусть п – порядок матрицы А, и В=(b_ij) – присоединенная матрица матрицы tE – A: B = (tE – A)* (см. 9.4). Тогда b_ij – алгебраические дополнения к элементам матрицы tE– A, то есть миноры (с точностью до знака) (п-1)-го порядка матрицы tE– A. Значит, b_ij – многочлены от t степени

£ п-1. Поэтому b_ij имеют вид b_ij = b⁽⁰⁾_ij+ b⁽¹⁾_ijt + …+ b^(п-1)_ijt^п-1, где все b^(k)_ij Î Р. Определим матрицы В^(k) с элементами из Р: В^(k) = ( b^(k)_ij), k = 0, 1,…,п - 1. Тогда В = В⁽⁰⁾+ tВ^{(1) )}+…+ t^п-1В^(п-1). По свойству присоединенной матрицы

В×(tE – A) = |tE – A|×Е. (16.3)

Пусть c_A(t)= |tE – A|= с₀ + с₁t+…+ с_п-1 t^п-1+ t^п. Из формулы

(16.3) получаем:

(В⁽⁰⁾+ tВ⁽¹⁾ +…+ t^п-1В^(п-1))(tE– A) = (с₀ + с₁t+…+ с_п-1 t^п-1+ t^п)×Е. Сравним коэффициенты при одинаковых степенях t и запишем результат в таблицу:

Затем домножим все наши равенства на степени матрицы А, стоящие справа, и сложим их. Получим:

0 = с₀Е+ с₁А+…+ с_п-1 А^п-1+ А^п =c_A(А)×

ÿ

Следствие. [c_j(j )] = c_[j]([j])= 0 Þ c_j(j )= 0.

Пусть L – линейное пространство над полем Р, j : L® L – линейный оператор.

Определения.

1. Будем говорить, что многочлен f Î P[t] аннулирует оператор j, если f(j) = 0.

2. Будем говорить, что многочлен f Î P[t] аннулирует квадратную матрицу А, если f(А) = 0.

3. Аннулятором л.о. j называется множество многочленов Ann j = {f Î P[t] | f(j) = 0 }. Аналогично, аннулятором квадратной матрицы А называется множество многочленов Ann А = {f Î P[t] | f(А) = 0 }.

Из Теоремы Гамильтона – Кэли следует, что Ann j ¹ 0, Ann А ¹ 0.

Так как [f(j)] = f([j]), то Ann j = Ann [j].

Определение. Минимальным многочленом линейного оператора j называется ненулевой многочлен f_j наименьшей степени из Ann j со старшим коэффициентом, равным единице. Аналогично определяется минимальный многочлен

f_A матрицы A.

Утверждение.Для л.о. j (соответственно, для матрицы А) минимальный многочлен определен однозначно.

Доказательство. Пусть f_1j , f_2j - два минимальных многочлена для j. Тогда ст.f_1j = ст. f_2j Þ ст.( f_1j - f_2j )< ст.f_1j , и f_1j - f_2j Î Ann j Þ f_1j - f_2j = 0 Þ f_1j = f_2j .

ÿ

Утверждение.Если f Î Ann j, то f_j | f.

Доказательство. Разделим f на f_j с остатком:

f = q f_j +r, ст. r < ст. f_j Þ r(j) = f(j) - q(j) f_j(j)= 0 Þ r= 0.

ÿ

16.7. Инвариантные подпространства линейных операторов, действующих в векторных пространствах над R и над С.

Теорема. Пусть Lⁿ – линейное пространство над полем С, п >1, j : Lⁿ ® Lⁿ - линейный оператор. Тогда в Lⁿ существует одномерное j-инвариантное подпространство.

Доказательство следует из замечания в п.16.4 и из того, что поле С алгебраически замкнуто.

Теорема. Пусть Lⁿ – линейное пространство над полем R, п >1, j : Lⁿ ® Lⁿ - линейный оператор. Тогда в Lⁿ существует j-инвариантное подпространство размерности £ 2.

Доказательство. Пусть c_j(t)=р₁(t)×р₂(t)×…×р_m(t) - разложение характеристического многочлена на неприводимые множители над полем R. Тогда все множители р_i(t) имеют степень 1 или 2. По теореме Гамильтона – Кэли c_j(j )=0 Þ р₁(j )×р₂(j )×…×р_m(j ) = 0 Þ det(р₁(j )×р₂(j )×…×р_m(j )) = 0 Þ

det р₁(j )×det р₂(j )×…×det р_m(j )= 0 Þ $ i: det р_i(j )= 0.

а) Пусть ст. р_i(t) = 1. Можно считать, что р_i(t) = t - l₀ Þ

р_i(j )= j - l₀ id, det (j - l₀ id) = 0 Þ Ker (j - l₀ id) ¹ 0 Þ

Ker (j - l₀ id)' s ¹ 0, s – собственный вектор, <s > - одномерное j-инвариантное подпространство.

б) Пусть ст. р_i(t) = 2. Можно считать, что р_i(t) = t ² + аt + b,

р_i(j)=j ² +аj + b× id. Так как det р_i(j )= 0, то Ker р_i(j ) ¹ 0

Þ Ker р_i(j ) ' и ¹ 0 Þ (j ² + аj + b× id)и = 0 Þ

j ²и=- аj и - bu. Пусть v = j и, V = < и, v >. Тогда V - j- инвариантное подпространство, так как j и = v Î V,

j v = j ²и=- аj и – bu = - аv - bu Î V (см. также вывод 2 из п.16.1), и dimV £ 2.

ÿ

Упражнение. Доказать, что в случае б) dimV = 2.