Эрмитовы линейные операторы.

Date: 2015-10-07; view: 490.

Определение.Линейный оператор j: Н^п ® Н^п называется эрмитовым, если j* = j , то есть если " х, у Î Н^п

(j х,у) = (х, j у).

Теорема. Для линейного оператора j на Н^п эквивалентны следующие 5 условий (и при выполнении любого из этих

условий j = j*) :

1. (j x, у) = (х, j у) " х, у Î Н^п.

2. (j е_i ,е_j)= (е_i ,j е_j) " i, j " (для некоторого) базиса е в Н^п.

3. (j и_i ,и_j) = (и_i ,j и_j) " i, j " (для некоторого) ортонорми-

рованного базиса и в Е^п.

4. [ ]^t× = × , где - матрица Грама для базиса е .

5. [ ] ^t = - такие матрицы называются эрмитовыми.

Упражнение. Доказать теорему.

Следствие.Если А – эрмитова матрица, то det A^t= det A= = det = Þ det A Î R.