Изменение матрицы билинейной формы при изменении базисов. Ранг билинейной формы.

Date: 2015-10-07; view: 411.

Пусть e¢ = {e¢₁,…,e¢_n} – ещё один базис в L, и = T =

= ( t_ij ) - матрица перехода от базиса e к базису e¢:

. Тогда " x, yÎ L имеем , и

f(x ,y) = = =

= . Следовательно, из единственности матрицы билинейной формы, = .

Следствие. det = det ×(det T)².

Определение. Пусть f(x, y) - билинейная форма на L. Рангом билинейной формы f называется ранг ее матрицы в каком-либо базисе пространства L: rg f = rg .

Корректность определения следует из того, что ранг матрицы билинейной формы не зависит от выбора базиса: rg = rg для любых базисов e и e¢, так как умножение матрицы на невырожденные матрицы T ^t и T слева и справа соответственно не меняет ранга матрицы билинейной формы.