Упражнения.

Date: 2015-10-07; view: 524.

1. Доказать, что Z – бесконечная циклическая (аддитивная)

группа. Найти все возможные образующие элементы этой группы.

2. Доказать, что Z_т – конечная циклическая (аддитивная) группа. Найти все возможные образующие элементы этой группы.

3. Найти все подгруппы группы Z .

4. Доказать, что подгруппа циклической группы – цикличе­ская группа.

Пусть g Î G. Рассмотрим отображение j : Z ® G такое, что j(п) = g ⁿ " п Î Z. Очевидно, j - морфизм групп, так как j(т+п) = g ^т+п = g ^т g ^п = j т × j п . Кроме того,

Im j = <g>, Ker j = {n Î Z | g ^п = e }. Если Ker j = { 0 }, то по Теореме о разложении морфизма Im j = <g> » Z / Kerj = = Z / { 0 } » Z ,то есть < g > - бесконечная циклическая группа. Если же Ker j ¹ { 0 }, то Ker j = d×Z, Im j = <g> » » Z / Kerj = Z / d×Z » Z_d , то есть < g > - конечная циклическая группа. Следовательно, любая бесконечная циклическая группа изоморфна аддитивной группе Z, любая конечная циклическая группа изоморфна аддитивной группе Z_d .

Литература, использованная при подготовке Курса лекций:

1. Попов А.М. Лекции по линейной алгебре, ч.1.- М.: Изд-во РУДН, 2006

2. Булгаков Д.Н., Попов А.М. Введение в теорию линейных операторов.- М.: Изд-во РУДН, 2003

СОДЕРЖАНИЕ

Лекция 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1. Комбинаторика. Бином Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Лекция 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Лекция 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3. Соответствия. Функции. Отношения. Отношение

эквивалентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Лекция 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Лекция 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4. Системы линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Лекция 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Лекция 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5. Определители. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

Лекция 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Лекция 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Лекция 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Лекция 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6. Группы, кольца, поля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Лекция 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Лекция 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7. Линейные пространства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Лекция 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Лекция 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Лекция 16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

8. Системы линейных уравнений (продолжение) . . . . . . . . . 70

Лекция 17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Лекция 18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

9. Матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Лекция 19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Лекция 20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

10. Алгебра многочленов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Лекция 21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Лекция 22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Лекция 23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

11. Поле рациональных функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Лекция 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103

12. Прямые суммы подпространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

13. Линейные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Лекция 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110

Лекция 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113

14. Матрица перехода от одного базиса к другому . . . . . . .113

15. Образ и ядро линейного отображения . . . . . . . . . . . . . . 117

Лекция 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119

16. Инвариантные подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120

Лекция 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127

17. Диагонализируемые линейные операторы . . . . . . . . . . .130

Лекция 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133

18. Евклидовы векторные пространства. . . . . . . . . . . . . . . . 133

Лекция 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137

19. Ортогональные линейные операторы. . . . . . . . . . . . . . . 138

Лекция 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144

20. Самосопряженные линейные операторы . . . . . . . . . . . .144

Лекция 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149

21. Унитарные векторные пространства . . . . . . . . . . . . . . . .149

22. Унитарные линейные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151

Лекция 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154

23. Эрмитовы линейные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Лекция 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157

24. Билинейные и квадратичные формы . . . . . . . . . . . . . . . 157

Лекция 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163

Лекция 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .168

25. Квадратичные формы в евклидовом пространстве . . . .168

Лекция 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172

26. Эрмитовы формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Лекция 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .177

27. Эрмитовы формы в унитарном пространстве . . . . . . . . 177

Лекция 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181

27. Группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181

Лекция 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .186