Структура дисциплины

Date: 2015-10-07; view: 446.

Содержание разделов дисциплины

Содержание и структура дисциплины

Требования к результатам освоения дисциплины

С курса линейной алгебры начинается высшее профессиональное математическое образование. Слушатели должны владеть математическими знаниями в рамках программы средней школы.

Знания, полученные в этом курсе, используются в следующих курсах ООП ВПО:

Математический анализ,

Методы оптимальных решений,

Теория вероятностей и математическая статистика,

Анализ и математическое моделирование социально экономических показателей,

Эконометрика,

Микроэкономика,

Макроэкономика.

Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины: ПК-4, ПК-5, ПК-6, ПК-14, ПК-15.

В результате освоения данной дисциплины обучающийся должен:

Знать: основные определения и понятия по следующим разделам линейной алгебры: теория матриц, системы линейных уравнений, линейные пространства и линейная зависимость, геометрия евклидова пространства, собственные векторы и собственные значения, канонический вид матриц линейных операторов, свойства квадратичных форм. Студенты должны знать логические связи между ними.

Уметь: формулировать и доказывать основные результаты этих разделов.

Владеть: навыками решения типовых задач с применением изучаемого теоретического материала.

Общая трудоемкость дисциплины составляет 5 зачетных единиц.

Таблица 1

№ п/п	Наименование раздела	Содержание раздела	Форма текущего контроля
	Вводная лекция.	Понятие множества, операции над множествами. Действительные числа. Операции с числами, понятие алгебраического поля. Геометрическое изображение действительных чисел. Плотность множества рациональных чисел. Сравнение действительных чисел, свойства неравенств. Ограниченные множества, точные нижняя и верхняя грани. Традиционные математические обозначения, кванторы существования и общности.	Проверка домашнего задания
	Матрицы	Понятие матрицы. Определения равных матриц, транспонированной, нулевой матриц. Диагональные, треугольные и единичные матрицы. Операции с матрицами: сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матрицы на вектор и матрицу. Целая степень матрицы.	Проверка домашнего задания
	Определители	Определители квадратных матриц произвольного порядка. Вычисление определителей второго и третьего порядков.Понятия минора и алгебраического дополнения. Теорема Лапласа и вытекающие из нее свойства определителей. Пример вычисления определителя четвёртого порядка разложением по строке или по столбцу. Доказательство свойств определителя. Тождественные преобразования определителя с обнулением части его элементов.	Проверка домашнего задания
	Обратная матрица.	Определение обратной матрицы. Доказательство единственности. Алгоритм вычисления обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений. Пример нахождения обратной матрицы к матрице третьего порядка.	Проверка домашнего задания
	Ранг матрицы.	Понятие ранга матрицы, основанное на ненулевых минорах. Элементарные преобразования, сохраняющие ранг матрицы. Ступенчатый вид матрицы. Пример приведения матрицы к ступенчатому виду. Свойства ранга. Понятие линейной независимости строк матрицы. Теорема о ранге матрицы по строкам и по столбцам.	Проверка домашнего задания
	Системы линейных алгебраических уравнений.	Постановка задачи. Матричная запись системы. Пример системы второго порядка, геометрический смысл решений. Влияние рангов матрицы системы и расширенной матрицы на множество решений. Методы решения систем с невырожденными матрицами: обратной матрицы, Крамера, Гаусса. Обобщение метода Гаусса на системы с вырожденными или неквадратными матрицами. Теорема Кронекера–Капели. Линейность пространства решений системы линейных однородных алгебраических уравнений, его размерность. Фундаментальная система решений. Общее решение системы линейных алгебраических уравнений.	Проверка домашнего задания, контрольная работа
	Аналитическая геометрия на плоскости.	Прямоугольная и полярная системы координат. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в заданном отношении. Общее уравнение прямой на плоскости и уравнение прямой с угловым коэффициентом. Способы построения уравнения прямой: по угловому коэффициенту и точке, по двум точкам, по точке и направляющему вектору. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Угол между двумя прямыми. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.	Проверка домашнего задания
	Комплексные числа как элементы плоскости.	Алгебраическая форма представления комплексных чисел. Понятия модуля и аргумента комплексного числа, тригонометрическая и экспоненциальная формы представления комплексных чисел Арифметические операции над комплексными числами.	Проверка домашнего задания
	Аналитическая геометрия в пространстве. Трехмерное векторное пространство.	Прямоугольная система координат в трехмерном пространстве. Понятие вектора как направленного отрезка. Понятие вектора как элемента линейного пространства. Трехмерное линейное пространство, координаты вектора в прямоугольной системе координат. Скалярное произведение. Векторное произведение. Смешанное произведение. Понятия ортогональности, коллинеарности и компланарности векторов.	Проверка домашнего задания
	Аналитическая геометрия в пространстве. Трехмерное аффинное пространство.	Аффинное пространство точек и связанное с ним векторное пространство. Общее уравнение плоскости в трехмерном пространстве. Нормальный вектор к плоскости. Уравнение плоскости с заданным нормальным вектором, проходящей через заданную точку. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Способы задания прямой в трехмерном пространстве. Угол между прямыми, а также угол между прямой и плоскостью в трехмерном пространстве.	Проверка домашнего задания, контрольная работа
	Евклидово пространство.	Арифметическое пространство . Операции над его элементами. Скалярное произведение в этом пространстве. Общее понятие линейного пространства. Размерность и базис конечномерного линейного пространства. Аксиомы скалярного произведения. Неравенство Коши-Буняковского. Метрические соотношения в евклидовом пространстве. Ортогональная система векторов, процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Существование ортонормированного базиса. Ортогональное дополнение к подпространству и ортогональная проекция вектора на подпространство евклидова пространства.	Проверка домашнего задания
	Линейные операторы.	Определение линейного оператора, действующего из в . Матричное представление линейного оператора в заданном базисе при m=n. Сумма, произведение операторов и умножение оператора на число. Связь матриц оператора в разных базисах. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора, их связь с собственными значениями и собственными векторами матриц. Матрица оператора в базисе его собственных векторов в случае их линейной независимости. Линейная модель международной торговли.	Проверка домашнего задания
	Квадратичные формы	Определение квадратичной формы от n переменных, ее матричное представление. Преобразование матрицы квадратичной формы при невырожденном линейном преобразовании переменных. Понятие канонического вида квадратичной формы, теорема о приведении к каноническому виду. Закон инерции квадратичных форм. Положительно определенные квадратичные формы, критерий Сильвестра.	Проверка домашнего задания, контрольная работа

Таблица 2