МНОГОЧЛЕНЫ. СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ.

Date: 2015-10-07; view: 406.

Пусть Р- некоторое числовое поле, х — переменная, x^0, х^1, х^2…х^n-степени переменной.

Определение 1. Формальное выражение вида an*х^n+(а) (n-1)*х(^n-1)+…+а0 (1),

где аn,…а0ÎР называют многочленом над полем Р от переменной х, аn,…а0 — коэффициенты многочлена.

Если аn¹0,то an*х^n называется старшим членом многочлена, аn — старший коэффициент многочлена. n=deg (многочлена) — степень многочлена.

Множество многочленов над полем Р будем обозначать через Р[х], при этом многочлены будем обозначать так: f(x),g(x)…

В анализе обычно смотрят на многочлен как на функцию. Степень многочлена, у которого все коэффициенты равны нулю будем считать неопределенной. Иногда нулевому многочлену приписывают степень, равную -¥. Это бывает удобно и не приводит к противоречию. Часто бывает удобным записывать многочлен не по убывающим степеням x, а по возрастающим и применять другую нумерацию коэффициентов.

Определение 2. Два многочлена называют равными, если равны их коэффициенты, стоящие при одинаковых степенях.

Замечание: для многочленов над числовым полем данное определение равенства многочленов совпадает с определением равенства многочленов, если на многочлен смотреть как на функцию.

Сложение многочленов:

f(x)=a0+a1 x+…+an x^n

g(x)=b0+b1 x+…+bs x^s , s£n

Под суммой многочленов f(x)+g(x) понимают многочлен

f(x)+g(x)=c0+…+cn x^n , где cj=aj+bj.

Очевидно, что сложение многочленов коммутативно и ассоциативно, так как всё сводится к сложению элементов числового поля.

Определение 3.Под произведением многочленов f(x)*g(x) понимают многочлен f(x)*g(x)= d₀+…+d_n+sx^n+s, где .