Средние величины

Date: 2015-10-07; view: 406.

Средняя величина–это обобщающий показатель, характеризующий типический уровень явления. Он выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности.

Средняя всегда обобщает количественную вариацию признака, т. е. в средних величинах погашаются индивидуальные различия единиц совокупности, обусловленные случайными обстоятельствами. В отличии от средней абсолютная величина, характеризующая уровень признака отдельной единицы совокупности, не позволяет сравнивать значения признака у единиц, относящихся к разным совокупностям.

Средняя, рассчитанная по совокупности в целом, называется общей средней; средние, исчисленные для каждой группы – групповыми средними.

Общие принципы применения средних величин:

1. При определении средней величины в каждом конкретном случае нужно исходить из качественного содержания усредняемого признака, учитывать взаимосвязь изучаемых признаков, а также имеющиеся для расчета данные.

2. Средняя величина должна прежде всего рассчитываться по однородной совокупности. Качественно однородные совокупности позволяет получить метод группировок, который всегда предполагает расчет системы обобщающих показателей.

3. Общие средние должны подкрепляться групповыми средними. Например, допустим, что анализ динамики урожайности отдельной культуры показывает, что общая урожайность снижается. Однако, сгруппировав районы по признакам различия и проанализировав динамику групповых средних, можно обнаружить, что в отдельных группах районов средняя урожайность не изменилась, либо возрастает, а снижение общей средней в целом обусловлено ростом удельного веса районов с низкой урожайностью в общем производстве этой культуры.

4. Необходим обоснованный выбор единицы совокупности, для которой рассчитывается средняя.

Средние величины

степенные структурные

простые взвешенные мода медиана

.

Остановимся на степенных средних. Простая средняя считается по несгруппированным данным и имеет следующий общий вид:

где — варианта (значение) усредняемого признака;

m— показатель степени средней;

n — число вариант.

Взвешенная средняя считается по сгруппированным данным и имеет общий вид;

где — варианта (значение) усредняемого признака или серединное значение интервала, в котором измеряется варианта;

m — показатель степени средней;

— частота, показывающая, сколько раз встречается i-е значение усредняемого признака.

Общие формулы расчета степенных средних имеют показатель степени (m). В зависимости от того, какое значение он принимает, различают следующие виды степенных средних:

Вид степенной средней	Показатель степени (m)	Формула расчета
Простая	Взвешенная
Гармоническая	- 1		m=x f
Геометрическая
Арифметическая
Квадратическая
Кубическая

Если рассчитать все виды средних для одних и тех же исходных данных, то значения их окажутся неодинаковыми. Здесь действует правило мажорантности средних: с увеличением показателя степени m увеличивается и соответствующая средняя величина:

В статистической практике чаще, чем остальные виды средних взвешенных, используются средние арифметические и средние гармонические взвешенные.

Рассмотрим для примера расчет средней арифметической и средней арифметической взвешенной для ряда:

- 3,4; 5,6; 5,6; 4,5; 3,4; 7,9; 5,6; 7,5; 4,5; 6,3.

Простая средняя арифметическая:

Сгруппировав данные, получаем:

Теперь можно определить взвешенную среднюю арифметическую:

Средняя арифметическая величина обладает рядом свойств, которые определяют ее широкое применение в экономических расчетах и практике статистического исследования:

1. Средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной: при А=const.

2. Сумма положительных отклонений от средней равна сумме отрицательных отклонений. - линейные (индивидуальные) отклонения от средней. Алгебраическая сумма линейных отклонений (разностей) индивидуальных значений признака от средней арифметической равна нулю: для первичного ряда и для сгруппированных данных.

3. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака каждой единицы совокупности от средней арифметической есть число минимальное: .