Тема 2. Теоремы сложения умножения

Date: 2015-10-07; view: 461.

Тема 1. Основные понятия теории вероятностей

Раздел 1. Случайные события

ЗАДАНИЯ ДЛЯ семинарских и практических занятий

Промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины

Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,

Темы контрольных работ

• Классическое определение вероятности.

• Основные формулы комбинаторики.

• Примеры непосредственного вычисления вероятностей. Классическая формула вычисления вероятностей.

• Статистическая вероятность.

• Геометрические вероятности.

• Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

• Полная группа событий.

• Противоположные события.

• Произведение событий.

• Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.

• Независимые события.

• Формула полной вероятности.

• Формулы Байеса.

• Формула Бернулли.

• Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

• комбинаторные задачи;

• биномиальные коэффициенты;

• рекуррентные соотношения и производящие функции.

• представление графа;

• алгоритмы проверки связности, ацикличности;

• построение порядковой функции графа;

• нахождение максимальных внутренне устойчивых множеств, минимальных внешне устойчивых множеств.

Контрольные вопросы

1. Испытания и события.

2. Классическое определение вероятности.

3. Основные формулы комбинаторики.

4. Примеры непосредственного вычисления вероятностей. Классическая формула вычисления вероятностей.

5. Статистическая вероятность.

6. Геометрические вероятности.

7. Вероятностное пространство. Аксиомы теории вероятностей.

Практические задания:

1. В меню ресторана имеется 12 видов безалкогольных напитков одинаковой стоимостью. Посетителям нужно предложить 4 вида напитков. Сколько существует комбинаций предложения видов напитков посетителям, если порядок подачи вида напитка имеет значение.

2. В холодильнике находятся 15 яблок, 14 апельсин, 8 банан. Сколькими разными способами можно приготовить фруктовое ассорти из 3 фруктов разных сортов.

3. Сколько разных 4-ех разрядных чисел можно составить из 10 цифр?

4. Экзамен сдают 12 студентов. Сколько различных вариантов последовательности сдачи экзамена студентами существует?

5. Найти количество перестановок букв в слове «модифицированный»

6. Из группы студентов в 28 человек: 22 – изучают англ. яз., 13 – изучают нем. яз., 15 – оба языка. Сколько человек не знают ни одного языка?

7. На плоскости дано п точек. Сколько имеется отрезков с концами в этих точках?

8. Сколькими способами можно составить букет из 17 цветков, если в продаже имеются гвоздики, розы, гладиолусы, ирисы, тюльпаны и васильки?

9. В колоде 32 карты (без единого туза). К колоде добавили 1 туз. Необходимо раздать карты до тех пор, пока не появится туз. Сколькими различными способами это можно сделать?

10. Имеется 7 орангутангов и 8 шимпанзе. Необходимо поставить шатер где они будут стоять в ряд. Известно что два орангутанга не могут стоять рядом. Сколько существует способов расстановки животных?

1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

2. Полная группа событий.

3. Противоположные события.

4. Произведение событий.

5. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.

6. Независимые события.

7. Формула полной вероятности.

8. Формулы Байеса.

9. Формула Бернулли.

10. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

Практические задания:

1. Бросают две игральные кости. Найти вероятность того, что: а) на обеих костях появятся шестерки; б) хотя бы на одной кости появятся шестерки.

2. В урне 5 белых и 4 черных шара. Из нее наугад вынимают два шара подряд. Найти вероятность того, что оба шара белые.

3. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение смены не потребует внимания рабочего первый станок, равна 0,7; второй - 0,8; третий – 0,9. Найти вероятность того, что в течение смены не потребуют внимания рабочего два станка.

4. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 учебников, причем 5 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 3 учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников в переплете.

5. В ящике 10 деталей, из которых 4 окрашены. Сборщик наудачу взял 3 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена.

6. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, для первого сигнализатора равна 0,95 и 0,9 для второго сигнализатора. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.

7. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется высшего сорта, равна 0,8. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий только два изделия высшего сорта.

8. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом, во втором, третьем справочниках, соответственно равно 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что формула содержится: а) только в одном справочнике; б) только в двух справочниках; в) во всех трех справочниках.

9. Брошены три игральные кости. Найти вероятности следующих событий: а) на каждой из выпавших граней появится 5 очков; б) на всех выпавших гранях появится одинаковое количество очков.

10. В читальном зале имеется 6 учебников по теории вероятностей, из которых три в переплете. Библиотекарь наудачу взял 2 учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.

11. Имеются два ящика с шарами. В первом ящике шесть белых и четыре черных шара, во втором ящике десять белых и пять черных шаров. Из первого ящика во второй не глядя перекладывают один шар. После этого из второго ящика берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

12. На трех станках производят одинаковые детали, причем на первом станке производят 25%, на втором станке 35%, на третьем - 40% всех деталей. В продукции трех станков брак составляет 5%, 4%, и 2% соответственно. Все детали поступают на склад.

а) Найти вероятность того, что случайно взятая деталь окажется бракованной.

б) Случайно взятая деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она изготовлена на первом станке?

13. В группе спортсменов 15 лыжников, 5 бегунов. Вероятность выполнить норму для лыжника равна 0,8, для бегуна 0,9: а) найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит норму; б) наугад вызванный спортсмен выполнил норму. Какова вероятность того, что он лыжник?

14. В вычислительной лаборатории имеются 6 клавишных автоматов и 4 полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равна 0,95; для полу автомата эта вероятность равна 0,8. Студент производит расчет на наудачу выбранной машине. Найти вероятность того, что до окончания расчет машина не выйдет из строя.

15. В телевизоре 10 ламп. Для любой из ламп вероятность, что останется исправной в течение года, равна 0,8. Какова вероятность того, что в течение года выйдут из строя две лампы?

16. Найти вероятность того, что событие наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность проявления события в каждом испытании равна 0,2.

17. Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна 0,02. Какова вероятность того, что из 50 билетов выигрышными будут 3 билета.

18. Имеется 100 станков одинаковой мощности, работающих независимо друг от друга в одинаковом режиме, при котором их привод оказывается включенным в течение 0,8 всего рабочего времени. Какова вероятность того, что в произвольно взятый момент времени окажутся включенными от 70 до 86 станков.

19. Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет: а) два раза; б) не более двух раз; в) более двух раз; г) не менее двух и не более трех раз.